Trigonometrie Beispiele

$\frac{\sqrt{2}}{2} \csc (x) - 1 = 0$

Schritt 1

Kombiniere $\frac{\sqrt{2}}{2}$ und $\csc (x)$ .

$\frac{\sqrt{2} \csc (x)}{2} - 1 = 0$

Schritt 2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{\sqrt{2} \csc (x)}{2} = 1$

Schritt 3

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2} \csc (x)}{2} = \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot 1$

Schritt 4

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.1.1

Vereinfache $\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2} \csc (x)}{2}$ .

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Schritt 4.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2} \csc (x)}{2} = \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot 1$

Schritt 4.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{\sqrt{2}} (\sqrt{2} \csc (x)) = \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot 1$

Schritt 4.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sqrt{2}$ .

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Schritt 4.1.1.2.1

Faktorisiere $\sqrt{2}$ aus $\sqrt{2} \csc (x)$ heraus.

$\frac{1}{\sqrt{2}} (\sqrt{2} \csc (x)) = \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot 1$

Schritt 4.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{\sqrt{2}} (\sqrt{2} \csc (x)) = \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot 1$

Schritt 4.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\csc (x) = \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot 1$

Schritt 4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache $\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot 1$ .

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Schritt 4.2.1.1

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\csc (x) = \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \cdot 1$

Schritt 4.2.1.2

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.2.1.2.1

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} \cdot 1$

Schritt 4.2.1.2.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}} \cdot 1$

Schritt 4.2.1.2.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}} \cdot 1$

Schritt 4.2.1.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} \cdot 1$

Schritt 4.2.1.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} \cdot 1$

Schritt 4.2.1.2.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 4.2.1.2.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot 1$

Schritt 4.2.1.2.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cdot 1$

Schritt 4.2.1.2.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} \cdot 1$

Schritt 4.2.1.2.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.1.2.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} \cdot 1$

Schritt 4.2.1.2.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}} \cdot 1$

Schritt 4.2.1.2.6.5

Berechne den Exponenten.

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{2}}{2} \cdot 1$

Schritt 4.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{2}}{2} \cdot 1$

Schritt 4.2.1.3.2

Dividiere $\sqrt{2}$ durch $1$ .

$\csc (x) = \sqrt{2} \cdot 1$

Schritt 4.2.1.4

Mutltipliziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\csc (x) = \sqrt{2}$

Schritt 5

Wende den inversen Kosekans auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosekans herauszuziehen.

$x = arccsc (\sqrt{2})$

Schritt 6

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.1

Der genau Wert von $arccsc (\sqrt{2})$ ist $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Schritt 7

Die Kosekansfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$x = π - \frac{π}{4}$

Schritt 8

Vereinfache $π - \frac{π}{4}$ .

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Schritt 8.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Schritt 8.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 8.2.1

Kombiniere $π$ und $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Schritt 8.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Schritt 8.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.3.1

Bringe $4$ auf die linke Seite von $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π - π}{4}$

Schritt 8.3.2

Subtrahiere $π$ von $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Schritt 9

Ermittele die Periode von $\csc (x)$ .

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Schritt 9.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 9.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 9.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 9.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 10

Die Periode der Funktion $\csc (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$