Trigonometrie Beispiele

$\frac{\sin (θ)}{1 + \cos (θ)} \cdot \frac{1 - \cos (θ)}{1 - \cos (θ)} = \frac{1 - \cos (θ)}{\sin (θ)}$

Schritt 1

Beginne auf der linken Seite.

$\frac{\sin (θ)}{1 + \cos (θ)} \cdot \frac{1 - \cos (θ)}{1 - \cos (θ)}$

Schritt 2

Kombinieren.

$\frac{\sin (θ) (1 - \cos (θ))}{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}$

Schritt 3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sin (θ) \cdot 1 + \sin (θ) (- \cos (θ))}{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $\sin (θ)$ mit $1$ .

$\frac{\sin (θ) + \sin (θ) (- \cos (θ))}{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}$

Schritt 3.3

Stelle die Faktoren in $\sin (θ) + \sin (θ) (- \cos (θ))$ um.

$\frac{\sin (θ) - \sin (θ) \cos (θ)}{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}$

Schritt 4

Vereinfache Nenner.

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Schritt 4.1

Multipliziere $(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sin (θ) - \sin (θ) \cos (θ)}{1 (1 - \cos (θ)) + \cos (θ) (1 - \cos (θ))}$

Schritt 4.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sin (θ) - \sin (θ) \cos (θ)}{1 \cdot 1 + 1 (- \cos (θ)) + \cos (θ) (1 - \cos (θ))}$

Schritt 4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sin (θ) - \sin (θ) \cos (θ)}{1 \cdot 1 + 1 (- \cos (θ)) + \cos (θ) \cdot 1 + \cos (θ) (- \cos (θ))}$

Schritt 4.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

$\frac{\sin (θ) - \sin (θ) \cos (θ)}{1 - \cos^{2} (θ)}$

Schritt 5

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{\sin (θ) - \sin (θ) \cos (θ)}{\sin^{2} (θ)}$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Faktorisiere $\sin (θ)$ aus $\sin (θ) - \sin (θ) \cos (θ)$ heraus.

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Schritt 6.1.1

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{\sin (θ) \cdot 1 - \sin (θ) \cos (θ)}{{\sin (θ)}^{2}}$

Schritt 6.1.2

Faktorisiere $\sin (θ)$ aus $- \sin (θ) \cos (θ)$ heraus.

$\frac{\sin (θ) \cdot 1 + \sin (θ) (- \cos (θ))}{{\sin (θ)}^{2}}$

Schritt 6.1.3

Faktorisiere $\sin (θ)$ aus $\sin (θ) \cdot 1 + \sin (θ) (- \cos (θ))$ heraus.

$\frac{\sin (θ) (1 - \cos (θ))}{{\sin (θ)}^{2}}$

Schritt 6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

$\frac{1 - \cos (θ)}{\sin (θ)}$

Schritt 7

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\frac{\sin (θ)}{1 + \cos (θ)} \cdot \frac{1 - \cos (θ)}{1 - \cos (θ)} = \frac{1 - \cos (θ)}{\sin (θ)}$ ist eine Identitätsgleichung