Trigonometrie Beispiele

$\sec^{2} (x) + \cot^{2} (x) = \tan^{2} (x) + \csc^{2} (x)$

Schritt 1

Beginne auf der linken Seite.

$\sec^{2} (x) + \cot^{2} (x)$

Schritt 2

Wende den umgekehrten trigonometrischen Pythagoras an.

$\tan^{2} (x) + 1 + \cot^{2} (x)$

Schritt 3

Wandle in Sinus und Kosinus um.

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Schritt 3.1

Schreibe $\tan (x)$ mit Sinus und Kosinus mithilfe der Quotienten-Identitätsgleichung.

${(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} + 1 + \cot^{2} (x)$

Schritt 3.2

Schreibe $\cot (x)$ mit Sinus und Kosinus mithilfe der Quotienten-Identitätsgleichung.

${(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} + 1 + {(\frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2}$

Schritt 3.3

Wende die Produktregel auf $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ an.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + 1 + {(\frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2}$

Schritt 3.4

Wende die Produktregel auf $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ an.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + 1 + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 4

Schreibe $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + 1$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\frac{\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + 1}{1} + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 5

Addiere Brüche.

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Schritt 5.1

Um $\frac{\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + 1}{1}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ .

$\frac{\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + 1}{1} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $\frac{\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + 1}{1}$ mit $\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ .

$\frac{(\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + 1) \sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 5.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + 1) \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 6

Vereinfache jeden Term.

$\frac{\frac{\sin^{4} (x)}{\cos^{2} (x)} + \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 7

Schreibe $\sin^{2} (x)$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\frac{\frac{\sin^{4} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{1} + \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 8

Addiere Brüche.

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Schritt 8.1

Um $\frac{\sin^{2} (x)}{1}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{\frac{\sin^{4} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{1} \cdot \frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 8.2

Mutltipliziere $\frac{\sin^{2} (x)}{1}$ mit $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{\frac{\sin^{4} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 8.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{\sin^{4} (x) + \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 9

Schreibe $\cos^{2} (x)$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\frac{\frac{\sin^{4} (x) + \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\cos^{2} (x)}{1}}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 10

Addiere Brüche.

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Schritt 10.1

Um $\frac{\cos^{2} (x)}{1}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{\frac{\sin^{4} (x) + \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\cos^{2} (x)}{1} \cdot \frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 10.2

Mutltipliziere $\frac{\cos^{2} (x)}{1}$ mit $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{\frac{\sin^{4} (x) + \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\cos^{2} (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 10.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{\sin^{4} (x) + \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) + \cos^{2} (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 11

Multipliziere ${\cos (x)}^{2}$ mit ${\cos (x)}^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

$\frac{\frac{\sin^{4} (x) + \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) + \cos^{4} (x)}{\cos^{2} (x)}}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 12

Wende den umgekehrten trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{\frac{\sin^{4} (x) + (1 - \cos^{2} (x)) \cos^{2} (x) + \cos^{4} (x)}{\cos^{2} (x)}}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 13

Vereinfache.

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Schritt 13.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{{\sin (x)}^{4} + (1 - {\cos (x)}^{2}) {\cos (x)}^{2} + {\cos (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$

Schritt 13.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 13.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{{\sin (x)}^{4} + 1 {\cos (x)}^{2} - {\cos (x)}^{2} {\cos (x)}^{2} + {\cos (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$

Schritt 13.2.2

Mutltipliziere ${\cos (x)}^{2}$ mit $1$ .

$\frac{{\sin (x)}^{4} + {\cos (x)}^{2} - {\cos (x)}^{2} {\cos (x)}^{2} + {\cos (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$

Schritt 13.2.3

Multipliziere ${\cos (x)}^{2}$ mit ${\cos (x)}^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 13.2.3.1

Bewege ${\cos (x)}^{2}$ .

$\frac{{\sin (x)}^{4} + {\cos (x)}^{2} - ({\cos (x)}^{2} {\cos (x)}^{2}) + {\cos (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$

Schritt 13.2.3.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{{\sin (x)}^{4} + {\cos (x)}^{2} - {\cos (x)}^{2 + 2} + {\cos (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$

Schritt 13.2.3.3

Addiere $2$ und $2$ .

$\frac{{\sin (x)}^{4} + {\cos (x)}^{2} - {\cos (x)}^{4} + {\cos (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$

Schritt 13.2.4

Addiere $- {\cos (x)}^{4}$ und ${\cos (x)}^{4}$ .

$\frac{{\sin (x)}^{4} + {\cos (x)}^{2} + 0}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$

Schritt 13.2.5

Addiere ${\sin (x)}^{4} + {\cos (x)}^{2}$ und $0$ .

$\frac{{\sin (x)}^{4} + {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$

Schritt 13.3

Mutltipliziere $\frac{{\sin (x)}^{4} + {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$ mit $\frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$ .

$\frac{\sin^{4} (x) + \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

Schritt 14

Nun betrachte die rechte Seite der Gleichung.

$\tan^{2} (x) + \csc^{2} (x)$

Schritt 15

Wandle in Sinus und Kosinus um.

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Schritt 15.1

Schreibe $\tan (x)$ mit Sinus und Kosinus mithilfe der Quotienten-Identitätsgleichung.

${(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} + \csc^{2} (x)$

Schritt 15.2

Wende die Kehrwertfunktion auf $\csc (x)$ an.

${(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} + {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$

Schritt 15.3

Wende die Produktregel auf $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ an.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$

Schritt 15.4

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\sin (x)}$ an.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 16

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 17

Addiere Brüche.

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Schritt 17.1

Um $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 17.2

Um $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{1}{\sin^{2} (x)} \cdot \frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 17.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 17.3.1

Mutltipliziere $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ mit $\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ .

$\frac{\sin^{2} (x) \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)} + \frac{1}{\sin^{2} (x)} \cdot \frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 17.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ mit $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{\sin^{2} (x) \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)} + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x) \cos^{2} (x)}$

Schritt 17.3.3

Stelle die Faktoren von $\sin^{2} (x) \cos^{2} (x)$ um.

$\frac{\sin^{2} (x) \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)} + \frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

Schritt 17.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\sin^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

Schritt 18

Multipliziere ${\sin (x)}^{2}$ mit ${\sin (x)}^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

$\frac{\sin^{4} (x) + \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

Schritt 19

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\sec^{2} (x) + \cot^{2} (x) = \tan^{2} (x) + \csc^{2} (x)$ ist eine Identitätsgleichung