Trigonometrie Beispiele

sec (x) = - \frac{5}{2}

$\sec (x) = - \frac{5}{2}$ ,

$\tan (x) < 0$

Schritt 1

The tangent function is negative in the second and fourth quadrants. The secant function is negative in the second and third quadrants. The set of solutions for

$x$ are limited to the second quadrant since that is the only quadrant found in both sets.

Die Lösung liegt im zweiten Quadranten.

Schritt 2

Benutze die Definition des Sekans, um die bekannten Seiten des rechtwinkligen Dreiecks im Einheitskreis zu ermitteln. Der Quadrant bestimmt das Vorzeichen jedes Wertes.

$\sec (x) = \frac{Hypotenuse}{Ankathete}$

Schritt 3

Berechne die Gegenkathete des Dreiecks im Einheitskreis. Da die Ankathete und die Hypotenuse bekannt sind, kannst du den Satz des Pythagoras anwenden, um die verbleibende Seite zu berechnen.

$Gegenüberliegend = \sqrt{{Hypotenuse}^{2} - {Ankathete}^{2}}$

Schritt 4

Ersetze die bekannten Werte in der Gleichung.

$Gegenüberliegend = \sqrt{{(5)}^{2} - {(- 2)}^{2}}$

Schritt 5

Vereinfache den Ausdruck unter dem Wurzelzeichen.

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Schritt 5.1

Potenziere

$5$ mit

$2$ .

Gegenkathete

$= \sqrt{25 - {(- 2)}^{2}}$

Schritt 5.2

Potenziere

$- 2$ mit

$2$ .

Gegenkathete

$= \sqrt{25 - 1 \cdot 4}$

Schritt 5.3

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$4$ .

Gegenkathete

$= \sqrt{25 - 4}$

Schritt 5.4

Subtrahiere

$4$ von

$25$ .

Gegenkathete

$= \sqrt{21}$

Gegenkathete

$= \sqrt{21}$

Schritt 6

Ermittle den Wert des Sinus.

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Schritt 6.1

Bestimme den Wert von

$\sin (x)$ mithilfe der Definition des Sinus.

$\sin (x) = \frac{opp}{hyp}$

Schritt 6.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{21}}{5}$

Schritt 7

Berechne den Wert des Kosinus.

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Schritt 7.1

Bestimme den Wert von

$\cos (x)$ mithilfe der Definition des Kosinus.

$\cos (x) = \frac{adj}{hyp}$

Schritt 7.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\cos (x) = \frac{- 2}{5}$

Schritt 7.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\cos (x) = - \frac{2}{5}$

Schritt 8

Bestimme den Wert des Tangens.

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Schritt 8.1

Benutze die Definition des Tangens, um den Wert von

$\tan (x)$ zu ermitteln.

$\tan (x) = \frac{opp}{adj}$

Schritt 8.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\tan (x) = \frac{\sqrt{21}}{- 2}$

Schritt 8.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{21}}{2}$

Schritt 9

Berechne den Wert des Kotangens.

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Schritt 9.1

Bestimme den Wert von

$\cot (x)$ mithilfe der Definition des Kotangens.

$\cot (x) = \frac{adj}{opp}$

Schritt 9.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\cot (x) = \frac{- 2}{\sqrt{21}}$

Schritt 9.3

Vereinfache den Wert von

$\cot (x)$ .

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Schritt 9.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\cot (x) = - \frac{2}{\sqrt{21}}$

Schritt 9.3.2

Mutltipliziere

$\frac{2}{\sqrt{21}}$ mit

$\frac{\sqrt{21}}{\sqrt{21}}$ .

$\cot (x) = - (\frac{2}{\sqrt{21}} \cdot \frac{\sqrt{21}}{\sqrt{21}})$

Schritt 9.3.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.3.3.1

Mutltipliziere

$\frac{2}{\sqrt{21}}$ mit

$\frac{\sqrt{21}}{\sqrt{21}}$ .

$\cot (x) = - \frac{2 \sqrt{21}}{\sqrt{21} \sqrt{21}}$

Schritt 9.3.3.2

Potenziere

$\sqrt{21}$ mit

$1$ .

$\cot (x) = - \frac{2 \sqrt{21}}{\sqrt{21} \sqrt{21}}$

Schritt 9.3.3.3

Potenziere

$\sqrt{21}$ mit

$1$ .

$\cot (x) = - \frac{2 \sqrt{21}}{\sqrt{21} \sqrt{21}}$

Schritt 9.3.3.4

Wende die Exponentenregel

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\cot (x) = - \frac{2 \sqrt{21}}{{\sqrt{21}}^{1 + 1}}$

Schritt 9.3.3.5

Addiere

$1$ und

$1$ .

$\cot (x) = - \frac{2 \sqrt{21}}{{\sqrt{21}}^{2}}$

Schritt 9.3.3.6

Schreibe

${\sqrt{21}}^{2}$ als

$21$ um.

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Schritt 9.3.3.6.1

Benutze

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um

$\sqrt{21}$ als

$21^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\cot (x) = - \frac{2 \sqrt{21}}{{(21^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 9.3.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cot (x) = - \frac{2 \sqrt{21}}{21^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 9.3.3.6.3

Kombiniere

$\frac{1}{2}$ und

$2$ .

$\cot (x) = - \frac{2 \sqrt{21}}{21^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 9.3.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$2$ .

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Schritt 9.3.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cot (x) = - \frac{2 \sqrt{21}}{21^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 9.3.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\cot (x) = - \frac{2 \sqrt{21}}{21}$

Schritt 9.3.3.6.5

Berechne den Exponenten.

$\cot (x) = - \frac{2 \sqrt{21}}{21}$

Schritt 10

Berechne den Wert des Kosekans.

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Schritt 10.1

Bestimme den Wert von

$\csc (x)$ mithilfe der Definition des Kosekans.

$\csc (x) = \frac{hyp}{opp}$

Schritt 10.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\csc (x) = \frac{5}{\sqrt{21}}$

Schritt 10.3

Vereinfache den Wert von

$\csc (x)$ .

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Schritt 10.3.1

Mutltipliziere

$\frac{5}{\sqrt{21}}$ mit

$\frac{\sqrt{21}}{\sqrt{21}}$ .

$\csc (x) = \frac{5}{\sqrt{21}} \cdot \frac{\sqrt{21}}{\sqrt{21}}$

Schritt 10.3.2

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 10.3.2.1

Mutltipliziere

$\frac{5}{\sqrt{21}}$ mit

$\frac{\sqrt{21}}{\sqrt{21}}$ .

$\csc (x) = \frac{5 \sqrt{21}}{\sqrt{21} \sqrt{21}}$

Schritt 10.3.2.2

Potenziere

$\sqrt{21}$ mit

$1$ .

$\csc (x) = \frac{5 \sqrt{21}}{\sqrt{21} \sqrt{21}}$

Schritt 10.3.2.3

Potenziere

$\sqrt{21}$ mit

$1$ .

$\csc (x) = \frac{5 \sqrt{21}}{\sqrt{21} \sqrt{21}}$

Schritt 10.3.2.4

Wende die Exponentenregel

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\csc (x) = \frac{5 \sqrt{21}}{{\sqrt{21}}^{1 + 1}}$

Schritt 10.3.2.5

Addiere

$1$ und

$1$ .

$\csc (x) = \frac{5 \sqrt{21}}{{\sqrt{21}}^{2}}$

Schritt 10.3.2.6

Schreibe

${\sqrt{21}}^{2}$ als

$21$ um.

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Schritt 10.3.2.6.1

Benutze

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um

$\sqrt{21}$ als

$21^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\csc (x) = \frac{5 \sqrt{21}}{{(21^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 10.3.2.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\csc (x) = \frac{5 \sqrt{21}}{21^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 10.3.2.6.3

Kombiniere

$\frac{1}{2}$ und

$2$ .

$\csc (x) = \frac{5 \sqrt{21}}{21^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 10.3.2.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$2$ .

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Schritt 10.3.2.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\csc (x) = \frac{5 \sqrt{21}}{21^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 10.3.2.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\csc (x) = \frac{5 \sqrt{21}}{21}$

Schritt 10.3.2.6.5

Berechne den Exponenten.

$\csc (x) = \frac{5 \sqrt{21}}{21}$

Schritt 11

Das ist die Lösung zu jedem trigonometrischen Wert.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{21}}{5}$

$\cos (x) = - \frac{2}{5}$

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{21}}{2}$

$\cot (x) = - \frac{2 \sqrt{21}}{21}$

$\sec (x) = - \frac{5}{2}$

$\csc (x) = \frac{5 \sqrt{21}}{21}$