Trigonometrie Beispiele

Solve for θ in Degrees 2cos(2theta)^2=1-cos(2theta)
Schritt 1
Ersetze durch .
Schritt 2
Addiere zu beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 3
Subtrahiere von beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 4
Faktorisiere durch Gruppieren.
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Schritt 4.1
Für ein Polynom der Form schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich und deren Summe gleich ist.
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Schritt 4.1.1
Multipliziere mit .
Schritt 4.1.2
Schreibe um als plus
Schritt 4.1.3
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 4.2
Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.
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Schritt 4.2.1
Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.
Schritt 4.2.2
Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.
Schritt 4.3
Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, .
Schritt 5
Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich .
Schritt 6
Setze gleich und löse nach auf.
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Schritt 6.1
Setze gleich .
Schritt 6.2
Löse nach auf.
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Schritt 6.2.1
Addiere zu beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 6.2.2
Teile jeden Ausdruck in durch und vereinfache.
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Schritt 6.2.2.1
Teile jeden Ausdruck in durch .
Schritt 6.2.2.2
Vereinfache die linke Seite.
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Schritt 6.2.2.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 6.2.2.2.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 6.2.2.2.1.2
Dividiere durch .
Schritt 7
Setze gleich und löse nach auf.
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Schritt 7.1
Setze gleich .
Schritt 7.2
Subtrahiere von beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 8
Die endgültige Lösung sind alle Werte, die wahr machen.
Schritt 9
Ersetze durch .
Schritt 10
Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach aufzulösen.
Schritt 11
Löse in nach auf.
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Schritt 11.1
Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um aus dem Kosinus herauszuziehen.
Schritt 11.2
Vereinfache die rechte Seite.
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Schritt 11.2.1
Der genau Wert von ist .
Schritt 11.3
Teile jeden Ausdruck in durch und vereinfache.
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Schritt 11.3.1
Teile jeden Ausdruck in durch .
Schritt 11.3.2
Vereinfache die linke Seite.
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Schritt 11.3.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 11.3.2.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 11.3.2.1.2
Dividiere durch .
Schritt 11.3.3
Vereinfache die rechte Seite.
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Schritt 11.3.3.1
Dividiere durch .
Schritt 11.4
Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.
Schritt 11.5
Löse nach auf.
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Schritt 11.5.1
Subtrahiere von .
Schritt 11.5.2
Teile jeden Ausdruck in durch und vereinfache.
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Schritt 11.5.2.1
Teile jeden Ausdruck in durch .
Schritt 11.5.2.2
Vereinfache die linke Seite.
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Schritt 11.5.2.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 11.5.2.2.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 11.5.2.2.1.2
Dividiere durch .
Schritt 11.5.2.3
Vereinfache die rechte Seite.
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Schritt 11.5.2.3.1
Dividiere durch .
Schritt 11.6
Ermittele die Periode von .
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Schritt 11.6.1
Die Periode der Funktion kann mithilfe von berechnet werden.
Schritt 11.6.2
Ersetze durch in der Formel für die Periode.
Schritt 11.6.3
Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen und ist .
Schritt 11.6.4
Dividiere durch .
Schritt 11.7
Die Periode der -Funktion ist , sodass sich die Werte alle Grad in beide Richtungen wiederholen werden.
, für jede Ganzzahl
, für jede Ganzzahl
Schritt 12
Löse in nach auf.
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Schritt 12.1
Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um aus dem Kosinus herauszuziehen.
Schritt 12.2
Vereinfache die rechte Seite.
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Schritt 12.2.1
Der genau Wert von ist .
Schritt 12.3
Teile jeden Ausdruck in durch und vereinfache.
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Schritt 12.3.1
Teile jeden Ausdruck in durch .
Schritt 12.3.2
Vereinfache die linke Seite.
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Schritt 12.3.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 12.3.2.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 12.3.2.1.2
Dividiere durch .
Schritt 12.3.3
Vereinfache die rechte Seite.
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Schritt 12.3.3.1
Dividiere durch .
Schritt 12.4
Die Cosinus-Funktion ist im zweiten und dritten Quadranten negativ. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.
Schritt 12.5
Löse nach auf.
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Schritt 12.5.1
Subtrahiere von .
Schritt 12.5.2
Teile jeden Ausdruck in durch und vereinfache.
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Schritt 12.5.2.1
Teile jeden Ausdruck in durch .
Schritt 12.5.2.2
Vereinfache die linke Seite.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 12.5.2.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 12.5.2.2.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 12.5.2.2.1.2
Dividiere durch .
Schritt 12.5.2.3
Vereinfache die rechte Seite.
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Schritt 12.5.2.3.1
Dividiere durch .
Schritt 12.6
Ermittele die Periode von .
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Schritt 12.6.1
Die Periode der Funktion kann mithilfe von berechnet werden.
Schritt 12.6.2
Ersetze durch in der Formel für die Periode.
Schritt 12.6.3
Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen und ist .
Schritt 12.6.4
Dividiere durch .
Schritt 12.7
Die Periode der -Funktion ist , sodass sich die Werte alle Grad in beide Richtungen wiederholen werden.
, für jede Ganzzahl
, für jede Ganzzahl
Schritt 13
Liste alle Lösungen auf.
, für jede Ganzzahl
Schritt 14
Fasse die Ergebnisse zusammen.
, für jede Ganzzahl