Trigonometrie Beispiele

$2 \cos^{2} (2 θ) = 1 - \cos (2 θ)$

Schritt 1

Ersetze $\cos (2 θ)$ durch $u$ .

$2 {(u)}^{2} = 1 - (u)$

Schritt 2

Addiere $u$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 u^{2} + u = 1$

Schritt 3

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 u^{2} + u - 1 = 0$

Schritt 4

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 4.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ und deren Summe gleich $b = 1$ ist.

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Schritt 4.1.1

Multipliziere mit $1$ .

$2 u^{2} + 1 u - 1 = 0$

Schritt 4.1.2

Schreibe $1$ um als $- 1$ plus $2$

$2 u^{2} + (- 1 + 2) u - 1 = 0$

Schritt 4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 u^{2} - 1 u + 2 u - 1 = 0$

Schritt 4.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 4.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$2 u^{2} - 1 u + 2 u - 1 = 0$

Schritt 4.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$u (2 u - 1) + 1 (2 u - 1) = 0$

Schritt 4.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 u - 1$ .

$(2 u - 1) (u + 1) = 0$

Schritt 5

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$2 u - 1 = 0$

$u + 1 = 0$

Schritt 6

Setze $2 u - 1$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $2 u - 1$ gleich $0$ .

$2 u - 1 = 0$

Schritt 6.2

Löse $2 u - 1 = 0$ nach $u$ auf.

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Schritt 6.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 u = 1$

Schritt 6.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 u = 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 6.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 u = 1$ durch $2$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 6.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 6.2.2.2.1.2

Dividiere $u$ durch $1$ .

$u = \frac{1}{2}$

Schritt 7

Setze $u + 1$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 7.1

Setze $u + 1$ gleich $0$ .

$u + 1 = 0$

Schritt 7.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$u = - 1$

Schritt 8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(2 u - 1) (u + 1) = 0$ wahr machen.

$u = \frac{1}{2}, - 1$

Schritt 9

Ersetze $u$ durch $\cos (2 θ)$ .

$\cos (2 θ) = \frac{1}{2}, - 1$

Schritt 10

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $θ$ aufzulösen.

$\cos (2 θ) = \frac{1}{2}$

$\cos (2 θ) = - 1$

Schritt 11

Löse in $\cos (2 θ) = \frac{1}{2}$ nach $θ$ auf.

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Schritt 11.1

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $θ$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$2 θ = \arccos (\frac{1}{2})$

Schritt 11.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 11.2.1

Der genau Wert von $\arccos (\frac{1}{2})$ ist $60$ .

$2 θ = 60$

Schritt 11.3

Teile jeden Ausdruck in $2 θ = 60$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 11.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 θ = 60$ durch $2$ .

$\frac{2 θ}{2} = \frac{60}{2}$

Schritt 11.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 11.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 11.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 θ}{2} = \frac{60}{2}$

Schritt 11.3.2.1.2

Dividiere $θ$ durch $1$ .

$θ = \frac{60}{2}$

Schritt 11.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 11.3.3.1

Dividiere $60$ durch $2$ .

$θ = 30$

Schritt 11.4

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $360$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$2 θ = 360 - 60$

Schritt 11.5

Löse nach $θ$ auf.

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Schritt 11.5.1

Subtrahiere $60$ von $360$ .

$2 θ = 300$

Schritt 11.5.2

Teile jeden Ausdruck in $2 θ = 300$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 11.5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 θ = 300$ durch $2$ .

$\frac{2 θ}{2} = \frac{300}{2}$

Schritt 11.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 11.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 11.5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 θ}{2} = \frac{300}{2}$

Schritt 11.5.2.2.1.2

Dividiere $θ$ durch $1$ .

$θ = \frac{300}{2}$

Schritt 11.5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 11.5.2.3.1

Dividiere $300$ durch $2$ .

$θ = 150$

Schritt 11.6

Ermittele die Periode von $\cos (2 θ)$ .

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Schritt 11.6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{360}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{360}{| b |}$

Schritt 11.6.2

Ersetze $b$ durch $2$ in der Formel für die Periode.

$\frac{360}{| 2 |}$

Schritt 11.6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $2$ ist $2$ .

$\frac{360}{2}$

Schritt 11.6.4

Dividiere $360$ durch $2$ .

$180$

Schritt 11.7

Die Periode der $\cos (2 θ)$ -Funktion ist $180$ , sodass sich die Werte alle $180$ Grad in beide Richtungen wiederholen werden.

$θ = 30 + 180 n, 150 + 180 n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 12

Löse in $\cos (2 θ) = - 1$ nach $θ$ auf.

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Schritt 12.1

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $θ$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$2 θ = \arccos (- 1)$

Schritt 12.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 12.2.1

Der genau Wert von $\arccos (- 1)$ ist $180$ .

$2 θ = 180$

Schritt 12.3

Teile jeden Ausdruck in $2 θ = 180$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 12.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 θ = 180$ durch $2$ .

$\frac{2 θ}{2} = \frac{180}{2}$

Schritt 12.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 12.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 12.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 θ}{2} = \frac{180}{2}$

Schritt 12.3.2.1.2

Dividiere $θ$ durch $1$ .

$θ = \frac{180}{2}$

Schritt 12.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 12.3.3.1

Dividiere $180$ durch $2$ .

$θ = 90$

Schritt 12.4

Die Cosinus-Funktion ist im zweiten und dritten Quadranten negativ. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $360$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$2 θ = 360 - 180$

Schritt 12.5

Löse nach $θ$ auf.

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Schritt 12.5.1

Subtrahiere $180$ von $360$ .

$2 θ = 180$

Schritt 12.5.2

Teile jeden Ausdruck in $2 θ = 180$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 12.5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 θ = 180$ durch $2$ .

$\frac{2 θ}{2} = \frac{180}{2}$

Schritt 12.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 12.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 12.5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 θ}{2} = \frac{180}{2}$

Schritt 12.5.2.2.1.2

Dividiere $θ$ durch $1$ .

$θ = \frac{180}{2}$

Schritt 12.5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 12.5.2.3.1

Dividiere $180$ durch $2$ .

$θ = 90$

Schritt 12.6

Ermittele die Periode von $\cos (2 θ)$ .

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Schritt 12.6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{360}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{360}{| b |}$

Schritt 12.6.2

Ersetze $b$ durch $2$ in der Formel für die Periode.

$\frac{360}{| 2 |}$

Schritt 12.6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $2$ ist $2$ .

$\frac{360}{2}$

Schritt 12.6.4

Dividiere $360$ durch $2$ .

$180$

Schritt 12.7

Die Periode der $\cos (2 θ)$ -Funktion ist $180$ , sodass sich die Werte alle $180$ Grad in beide Richtungen wiederholen werden.

$θ = 90 + 180 n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 13

Liste alle Lösungen auf.

$θ = 30 + 180 n, 150 + 180 n, 90 + 180 n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 14

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$θ = 30 + 60 n$ , für jede Ganzzahl $n$