Trigonometrie Beispiele

$\frac{6 (\cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{π}{3}))}{3 (\cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{π}{6}))}$

Schritt 1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $3$ .

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Schritt 1.1

Faktorisiere $3$ aus $6 (\cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{π}{3}))$ heraus.

$\frac{3 (2 (\cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{π}{3})))}{3 (\cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{π}{6}))}$

Schritt 1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 (2 (\cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{π}{3})))}{3 (\cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{π}{6}))}$

Schritt 1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 (\cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{π}{3}))}{\cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{π}{6})}$

Schritt 2

Multipliziere den Zähler und den Nenner von $\frac{2 (\cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{π}{3}))}{0.8660254 + 0.5 i}$ mit der Konjugierten von $0.8660254 + 0.5 i$ , um den Nenner reell zu machen.

$\frac{2 (\cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{π}{3}))}{0.8660254 + 0.5 i} \cdot \frac{0.8660254 - 0.5 i}{0.8660254 - 0.5 i}$

Schritt 3

Multipliziere.

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Schritt 3.1

Kombinieren.

$\frac{2 (\cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{π}{3})) (0.8660254 - 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Schritt 3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{3})$ ist $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2 (\frac{1}{2} + i \sin (\frac{π}{3})) (0.8660254 - 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Schritt 3.2.1.2

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{3})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{2 (\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}) (0.8660254 - 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Schritt 3.2.1.3

Kombiniere $i$ und $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{2 (\frac{1}{2} + \frac{i \sqrt{3}}{2}) (0.8660254 - 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Schritt 3.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(2 (\frac{1}{2}) + 2 \frac{i \sqrt{3}}{2}) (0.8660254 - 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Schritt 3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(2 (\frac{1}{2}) + 2 \frac{i \sqrt{3}}{2}) (0.8660254 - 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Schritt 3.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(1 + 2 \frac{i \sqrt{3}}{2}) (0.8660254 - 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Schritt 3.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(1 + 2 \frac{i \sqrt{3}}{2}) (0.8660254 - 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Schritt 3.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(1 + i \sqrt{3}) (0.8660254 - 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Schritt 3.2.5

Multipliziere $(1 + i \sqrt{3}) (0.8660254 - 0.5 i)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.2.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1 (0.8660254 - 0.5 i) + i \sqrt{3} (0.8660254 - 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Schritt 3.2.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1 \cdot 0.8660254 + 1 (- 0.5 i) + i \sqrt{3} (0.8660254 - 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Schritt 3.2.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1 \cdot 0.8660254 + 1 (- 0.5 i) + i \sqrt{3} \cdot 0.8660254 + i \sqrt{3} (- 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Schritt 3.2.6

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.2.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.6.1.1

Mutltipliziere $0.8660254$ mit $1$ .

$\frac{0.8660254 + 1 (- 0.5 i) + i \sqrt{3} \cdot 0.8660254 + i \sqrt{3} (- 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Schritt 3.2.6.1.2

Mutltipliziere $- 0.5 i$ mit $1$ .

$\frac{0.8660254 - 0.5 i + i \sqrt{3} \cdot 0.8660254 + i \sqrt{3} (- 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Schritt 3.2.6.1.3

Mutltipliziere $0.8660254$ mit $\sqrt{3}$ .

$\frac{0.8660254 - 0.5 i + i \cdot 1.5 + i \sqrt{3} (- 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Schritt 3.2.6.1.4

Bringe $1.5$ auf die linke Seite von $i$ .

$\frac{0.8660254 - 0.5 i + 1.5 \cdot i + i \sqrt{3} (- 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Schritt 3.2.6.1.5

Multipliziere $i \sqrt{3} (- 0.5 i)$ .

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Schritt 3.2.6.1.5.1

Potenziere $i$ mit $1$ .

$\frac{0.8660254 - 0.5 i + 1.5 i + \sqrt{3} (- 0.5 (i^{1} i))}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Schritt 3.2.6.1.5.2

Potenziere $i$ mit $1$ .

$\frac{0.8660254 - 0.5 i + 1.5 i + \sqrt{3} (- 0.5 (i^{1} i^{1}))}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Schritt 3.2.6.1.5.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{0.8660254 - 0.5 i + 1.5 i + \sqrt{3} (- 0.5 i^{1 + 1})}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Schritt 3.2.6.1.5.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{0.8660254 - 0.5 i + 1.5 i + \sqrt{3} (- 0.5 i^{2})}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Schritt 3.2.6.1.5.5

Mutltipliziere $- 0.5$ mit $\sqrt{3}$ .

$\frac{0.8660254 - 0.5 i + 1.5 i - 0.8660254 i^{2}}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Schritt 3.2.6.1.6

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$\frac{0.8660254 - 0.5 i + 1.5 i - 0.8660254 \cdot - 1}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Schritt 3.2.6.1.7

Mutltipliziere $- 0.8660254$ mit $- 1$ .

$\frac{0.8660254 - 0.5 i + 1.5 i + 0.8660254}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Schritt 3.2.6.2

Addiere $0.8660254$ und $0.8660254$ .

$\frac{1.7320508 - 0.5 i + 1.5 i}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Schritt 3.2.6.3

Addiere $- 0.5 i$ und $1.5 i$ .

$\frac{1.7320508 + 1 i}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Schritt 3.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.3.1

Multipliziere $(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.3.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.8660254 (0.8660254 - 0.5 i) + 0.5 i (0.8660254 - 0.5 i)}$

Schritt 3.3.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.8660254 \cdot 0.8660254 + 0.8660254 (- 0.5 i) + 0.5 i (0.8660254 - 0.5 i)}$

Schritt 3.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.8660254 \cdot 0.8660254 + 0.8660254 (- 0.5 i) + 0.5 i \cdot 0.8660254 + 0.5 i (- 0.5 i)}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.3.2.1

Mutltipliziere $0.8660254$ mit $0.8660254$ .

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.75 + 0.8660254 (- 0.5 i) + 0.5 i \cdot 0.8660254 + 0.5 i (- 0.5 i)}$

Schritt 3.3.2.2

Mutltipliziere $- 0.5$ mit $0.8660254$ .

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.75 - 0.4330127 i + 0.5 i \cdot 0.8660254 + 0.5 i (- 0.5 i)}$

Schritt 3.3.2.3

Mutltipliziere $0.8660254$ mit $0.5$ .

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.75 - 0.4330127 i + 0.4330127 i + 0.5 i (- 0.5 i)}$

Schritt 3.3.2.4

Mutltipliziere $- 0.5$ mit $0.5$ .

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.75 - 0.4330127 i + 0.4330127 i - 0.25 i i}$

Schritt 3.3.2.5

Potenziere $i$ mit $1$ .

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.75 - 0.4330127 i + 0.4330127 i - 0.25 (i^{1} i)}$

Schritt 3.3.2.6

Potenziere $i$ mit $1$ .

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.75 - 0.4330127 i + 0.4330127 i - 0.25 (i^{1} i^{1})}$

Schritt 3.3.2.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.75 - 0.4330127 i + 0.4330127 i - 0.25 i^{1 + 1}}$

Schritt 3.3.2.8

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.75 - 0.4330127 i + 0.4330127 i - 0.25 i^{2}}$

Schritt 3.3.2.9

Addiere $- 0.4330127 i$ und $0.4330127 i$ .

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.75 + 0 i - 0.25 i^{2}}$

Schritt 3.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.3.1

Mutltipliziere $0$ mit $i$ .

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.75 + 0 - 0.25 i^{2}}$

Schritt 3.3.3.2

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.75 + 0 - 0.25 \cdot - 1}$

Schritt 3.3.3.3

Mutltipliziere $- 0.25$ mit $- 1$ .

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.75 + 0 + 0.25}$

Schritt 3.3.4

Addiere $0.75$ und $0$ .

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.75 + 0.25}$

Schritt 3.3.5

Addiere $0.75$ und $0.25$ .

$\frac{1.7320508 + 1 i}{1}$

Schritt 4

Schreibe $1.7320508$ als $1 (1.7320508)$ um.

$\frac{1 (1.7320508) + 1 i}{1}$

Schritt 5

Faktorisiere $1$ aus $1 i$ heraus.

$\frac{1 (1.7320508) + 1 (1 i)}{1}$

Schritt 6

Faktorisiere $1$ aus $1 (1.7320508) + 1 (1 i)$ heraus.

$\frac{1 (1.7320508 + 1 i)}{1}$

Schritt 7

Faktorisiere $1$ aus $1$ heraus.

$\frac{1 (1.7320508 + 1 i)}{1 (1)}$

Schritt 8

Separiere Brüche.

$\frac{1}{1} \cdot \frac{1.7320508 + 1 i}{1}$

Schritt 9

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 9.1

Dividiere $1$ durch $1$ .

$1 \frac{1.7320508 + 1 i}{1}$

Schritt 9.2

Dividiere $1.7320508 + 1 i$ durch $1$ .

$1 (1.7320508 + 1 i)$

Schritt 10

Wende das Distributivgesetz an.

$1 \cdot 1.7320508 + 1 (1 i)$

Schritt 11

Multipliziere.

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Schritt 11.1

Mutltipliziere $1$ mit $1.7320508$ .

$1.7320508 + 1 (1 i)$

Schritt 11.2

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$1.7320508 + 1 i$

Schritt 12

Das ist die trigonometrische Form einer komplexen Zahl, wobei $| z |$ der Betrag und $θ$ der Winkel, der in der komplexen Ebene entsteht, ist.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Schritt 13

Der Betrag einer komplexen Zahl ist der Abstand vom Ursprung in der komplexen Zahlenebene.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , wobei $z = a + b i$

Schritt 14

Ersetze die tatsächlichen Werte von $a = 1.7320508$ und $b = 1$ .

$| z | = \sqrt{1^{2} + {1.7320508}^{2}}$

Schritt 15

Ermittle $| z |$ .

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Schritt 15.1

Potenziere $1$ mit $2$ .

$| z | = \sqrt{1 + {1.7320508}^{2}}$

Schritt 15.2

Potenziere $1.7320508$ mit $2$ .

$| z | = \sqrt{1 + 3}$

Schritt 15.3

Addiere $1$ und $3$ .

$| z | = \sqrt{4}$

Schritt 15.4

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$| z | = \sqrt{2^{2}}$

Schritt 15.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$| z | = 2$

Schritt 16

Der Winkel des Punkts in der komplexen Zahlenebene ist der inverse Tangens des Imaginärteils geteilt durch den Realteil.

$θ = \arctan (\frac{1}{1.7320508})$

Schritt 17

Da die Umkehrfunktion des Tangens von $\frac{1}{1.7320508}$ einen Winkel im ersten Quadranten ergibt, ist der Wert des Winkels $\frac{π}{6}$ .

$θ = \frac{π}{6}$

Schritt 18

Substituiere die Werte von $θ = \frac{π}{6}$ und $| z | = 2$ .

$2 (\cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{π}{6}))$