Trigonometrie Beispiele

$\sin (2 θ) + \sqrt{2} \cos (θ) = 0$

Schritt 1

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Sinus an.

$2 \sin (θ) \cos (θ) + \sqrt{2} \cos (θ) = 0$

Schritt 2

Faktorisiere $\cos (θ)$ aus $2 \sin (θ) \cos (θ) + \sqrt{2} \cos (θ)$ heraus.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $\cos (θ)$ aus $2 \sin (θ) \cos (θ)$ heraus.

$\cos (θ) (2 \sin (θ)) + \sqrt{2} \cos (θ) = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere $\cos (θ)$ aus $\sqrt{2} \cos (θ)$ heraus.

$\cos (θ) (2 \sin (θ)) + \cos (θ) \sqrt{2} = 0$

Schritt 2.3

Faktorisiere $\cos (θ)$ aus $\cos (θ) (2 \sin (θ)) + \cos (θ) \sqrt{2}$ heraus.

$\cos (θ) (2 \sin (θ) + \sqrt{2}) = 0$

Schritt 3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$\cos (θ) = 0$

$2 \sin (θ) + \sqrt{2} = 0$

Schritt 4

Setze $\cos (θ)$ gleich $0$ und löse nach $θ$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $\cos (θ)$ gleich $0$ .

$\cos (θ) = 0$

Schritt 4.2

Löse $\cos (θ) = 0$ nach $θ$ auf.

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Schritt 4.2.1

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $θ$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$θ = \arccos (0)$

Schritt 4.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.2.1

Der genau Wert von $\arccos (0)$ ist $\frac{π}{2}$ .

$θ = \frac{π}{2}$

Schritt 4.2.3

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$θ = 2 π - \frac{π}{2}$

Schritt 4.2.4

Vereinfache $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Schritt 4.2.4.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$θ = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 4.2.4.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.2.4.2.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{2}{2}$ .

$θ = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 4.2.4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$θ = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Schritt 4.2.4.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.4.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$θ = \frac{4 π - π}{2}$

Schritt 4.2.4.3.2

Subtrahiere $π$ von $4 π$ .

$θ = \frac{3 π}{2}$

Schritt 4.2.5

Ermittele die Periode von $\cos (θ)$ .

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Schritt 4.2.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 4.2.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 4.2.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 4.2.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 4.2.6

Die Periode der Funktion $\cos (θ)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$θ = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 5

Setze $2 \sin (θ) + \sqrt{2}$ gleich $0$ und löse nach $θ$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $2 \sin (θ) + \sqrt{2}$ gleich $0$ .

$2 \sin (θ) + \sqrt{2} = 0$

Schritt 5.2

Löse $2 \sin (θ) + \sqrt{2} = 0$ nach $θ$ auf.

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Schritt 5.2.1

Subtrahiere $\sqrt{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 \sin (θ) = - \sqrt{2}$

Schritt 5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 \sin (θ) = - \sqrt{2}$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 \sin (θ) = - \sqrt{2}$ durch $2$ .

$\frac{2 \sin (θ)}{2} = \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Schritt 5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \sin (θ)}{2} = \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Schritt 5.2.2.2.1.2

Dividiere $\sin (θ)$ durch $1$ .

$\sin (θ) = \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Schritt 5.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 5.2.3

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $θ$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$θ = \arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Schritt 5.2.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.4.1

Der genau Wert von $\arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ ist $- \frac{π}{4}$ .

$θ = - \frac{π}{4}$

Schritt 5.2.5

Die Sinusfunktion ist negativ im dritten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere die Lösung von $2 π$ , um einen Referenzwinkel zu ermitteln. Addiere als nächstes diesen Referenzwinkel zu $π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$θ = 2 π + \frac{π}{4} + π$

Schritt 5.2.6

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 5.2.6.1

Subtrahiere $2 π$ von $2 π + \frac{π}{4} + π$ .

$θ = 2 π + \frac{π}{4} + π - 2 π$

Schritt 5.2.6.2

Der resultierende Winkel von $\frac{5 π}{4}$ ist positiv, kleiner als $2 π$ und gleich $2 π + \frac{π}{4} + π$ .

$θ = \frac{5 π}{4}$

Schritt 5.2.7

Ermittele die Periode von $\sin (θ)$ .

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Schritt 5.2.7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 5.2.7.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 5.2.7.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 5.2.7.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 5.2.8

Addiere $2 π$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 5.2.8.1

Addiere $2 π$ zu $- \frac{π}{4}$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- \frac{π}{4} + 2 π$

Schritt 5.2.8.2

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Schritt 5.2.8.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 5.2.8.3.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{4}{4}$ .

$\frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Schritt 5.2.8.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Schritt 5.2.8.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.8.4.1

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\frac{8 π - π}{4}$

Schritt 5.2.8.4.2

Subtrahiere $π$ von $8 π$ .

$\frac{7 π}{4}$

Schritt 5.2.8.5

Liste die neuen Winkel auf.

$θ = \frac{7 π}{4}$

Schritt 5.2.9

Die Periode der Funktion $\sin (θ)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$θ = \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $\cos (θ) (2 \sin (θ) + \sqrt{2}) = 0$ wahr machen.

$θ = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 7

Führe $\frac{π}{2} + 2 π n$ und $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ zu $\frac{π}{2} + π n$ zusammen.

$θ = \frac{π}{2} + π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$