Trigonometrie Beispiele

$\frac{1 - \sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 1

Das ist die trigonometrische Form einer komplexen Zahl, wobei $| z |$ der Betrag und $θ$ der Winkel, der in der komplexen Ebene entsteht, ist.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Schritt 2

Der Betrag einer komplexen Zahl ist der Abstand vom Ursprung in der komplexen Zahlenebene.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , wobei $z = a + b i$

Schritt 3

Ersetze die tatsächlichen Werte von $a = \frac{1 - \sin (x)}{\cos (x)}$ und $b = 0$ .

$| z | = \sqrt{0^{2} + {(\frac{1 - \sin (x)}{\cos (x)})}^{2}}$

Schritt 4

Ermittle $| z |$ .

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Schritt 4.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$| z | = \sqrt{0 + {(\frac{1 - \sin (x)}{\cos (x)})}^{2}}$

Schritt 4.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1 - \sin (x)}{\cos (x)}$ an.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{{(1 - \sin (x))}^{2}}{\cos^{2} (x)}}$

Schritt 4.3

Multipliziere mit $1$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{{(1 - \sin (x))}^{2}}{\cos^{2} (x) \cdot 1}}$

Schritt 4.4

Separiere Brüche.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{{(1 - \sin (x))}^{2}}{1} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (x)}}$

Schritt 4.5

Wandle von $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ nach $\sec^{2} (x)$ um.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{{(1 - \sin (x))}^{2}}{1} \cdot \sec^{2} (x)}$

Schritt 4.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.6.1

Dividiere ${(1 - \sin (x))}^{2}$ durch $1$ .

$| z | = \sqrt{0 + {(1 - \sin (x))}^{2} \sec^{2} (x)}$

Schritt 4.6.2

Schreibe ${(1 - \sin (x))}^{2}$ als $(1 - \sin (x)) (1 - \sin (x))$ um.

$| z | = \sqrt{0 + (1 - \sin (x)) (1 - \sin (x)) \sec^{2} (x)}$

Schritt 4.7

Multipliziere $(1 - \sin (x)) (1 - \sin (x))$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$| z | = \sqrt{0 + (1 (1 - \sin (x)) - \sin (x) (1 - \sin (x))) \sec^{2} (x)}$

Schritt 4.7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$| z | = \sqrt{0 + (1 \cdot 1 + 1 (- \sin (x)) - \sin (x) (1 - \sin (x))) \sec^{2} (x)}$

Schritt 4.7.3

Wende das Distributivgesetz an.

$| z | = \sqrt{0 + (1 \cdot 1 + 1 (- \sin (x)) - \sin (x) \cdot 1 - \sin (x) (- \sin (x))) \sec^{2} (x)}$

Schritt 4.8

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.8.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$| z | = \sqrt{0 + (1 + 1 (- \sin (x)) - \sin (x) \cdot 1 - \sin (x) (- \sin (x))) \sec^{2} (x)}$

Schritt 4.8.1.2

Mutltipliziere $- \sin (x)$ mit $1$ .

$| z | = \sqrt{0 + (1 - \sin (x) - \sin (x) \cdot 1 - \sin (x) (- \sin (x))) \sec^{2} (x)}$

Schritt 4.8.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$| z | = \sqrt{0 + (1 - \sin (x) - \sin (x) - \sin (x) (- \sin (x))) \sec^{2} (x)}$

Schritt 4.8.1.4

Multipliziere $- \sin (x) (- \sin (x))$ .

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Schritt 4.8.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$| z | = \sqrt{0 + (1 - \sin (x) - \sin (x) + 1 \sin (x) \sin (x)) \sec^{2} (x)}$

Schritt 4.8.1.4.2

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$| z | = \sqrt{0 + (1 - \sin (x) - \sin (x) + \sin (x) \sin (x)) \sec^{2} (x)}$

Schritt 4.8.1.4.3

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$| z | = \sqrt{0 + (1 - \sin (x) - \sin (x) + \sin (x) \sin (x)) \sec^{2} (x)}$

Schritt 4.8.1.4.4

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$| z | = \sqrt{0 + (1 - \sin (x) - \sin (x) + \sin (x) \sin (x)) \sec^{2} (x)}$

Schritt 4.8.1.4.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$| z | = \sqrt{0 + (1 - \sin (x) - \sin (x) + {\sin (x)}^{1 + 1}) \sec^{2} (x)}$

Schritt 4.8.1.4.6

Addiere $1$ und $1$ .

$| z | = \sqrt{0 + (1 - \sin (x) - \sin (x) + \sin^{2} (x)) \sec^{2} (x)}$

Schritt 4.8.2

Subtrahiere $\sin (x)$ von $- \sin (x)$ .

$| z | = \sqrt{0 + (1 - 2 \sin (x) + \sin^{2} (x)) \sec^{2} (x)}$

Schritt 4.9

Wende das Distributivgesetz an.

$| z | = \sqrt{0 + 1 \sec^{2} (x) - 2 \sin (x) \sec^{2} (x) + \sin^{2} (x) \sec^{2} (x)}$

Schritt 4.10

Vereinfache.

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Schritt 4.10.1

Mutltipliziere $\sec^{2} (x)$ mit $1$ .

$| z | = \sqrt{0 + \sec^{2} (x) - 2 \sin (x) \sec^{2} (x) + \sin^{2} (x) \sec^{2} (x)}$

Schritt 4.10.2

Schreibe $\sec (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$| z | = \sqrt{0 + \sec^{2} (x) - 2 \sin (x) \sec^{2} (x) + \sin^{2} (x) {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}}$

Schritt 4.10.3

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\cos (x)}$ an.

$| z | = \sqrt{0 + \sec^{2} (x) - 2 \sin (x) \sec^{2} (x) + \sin^{2} (x) (\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)})}$

Schritt 4.10.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$| z | = \sqrt{0 + \sec^{2} (x) - 2 \sin (x) \sec^{2} (x) + \sin^{2} (x) (\frac{1}{\cos^{2} (x)})}$

Schritt 4.10.5

Kombiniere $\sin^{2} (x)$ und $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ .

$| z | = \sqrt{0 + \sec^{2} (x) - 2 \sin (x) \sec^{2} (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}$

Schritt 4.11

Wandle von $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ nach $\tan^{2} (x)$ um.

$| z | = \sqrt{0 + \sec^{2} (x) - 2 \sin (x) \sec^{2} (x) + \tan^{2} (x)}$

Schritt 4.12

Addiere $0$ und $\sec^{2} (x) - 2 \sin (x) \sec^{2} (x) + \tan^{2} (x)$ .

$| z | = \sqrt{\sec^{2} (x) - 2 \sin (x) \sec^{2} (x) + \tan^{2} (x)}$

Schritt 5

Der Winkel des Punkts in der komplexen Zahlenebene ist der inverse Tangens des Imaginärteils geteilt durch den Realteil.

$θ = \arctan (\frac{0}{\frac{1 - \sin (x)}{\cos (x)}})$

Schritt 6

Substituiere die Werte von $θ = \arctan (\frac{0}{\frac{1 - \sin (x)}{\cos (x)}})$ und $| z | = \sqrt{\sec^{2} (x) - 2 \sin (x) \sec^{2} (x) + \tan^{2} (x)}$ .

$\sqrt{\sec^{2} (x) - 2 \sin (x) \sec^{2} (x) + \tan^{2} (x)} (\cos (\arctan (\frac{0}{\frac{1 - \sin (x)}{\cos (x)}})) + i \sin (\arctan (\frac{0}{\frac{1 - \sin (x)}{\cos (x)}})))$