Trigonometrie Beispiele

$2 \tan^{2} (θ) - 5 \tan (θ) + 4 = - 8 \tan (θ) + 6$

Schritt 1

Bringe alle Ausdrücke auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Addiere $8 \tan (θ)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 \tan^{2} (θ) - 5 \tan (θ) + 4 + 8 \tan (θ) = 6$

Schritt 1.2

Subtrahiere $6$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 \tan^{2} (θ) - 5 \tan (θ) + 4 + 8 \tan (θ) - 6 = 0$

Schritt 2

Vereinfache die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Addiere $- 5 \tan (θ)$ und $8 \tan (θ)$ .

$2 \tan^{2} (θ) + 4 + 3 \tan (θ) - 6 = 0$

Schritt 2.2

Subtrahiere $6$ von $4$ .

$2 \tan^{2} (θ) - 2 + 3 \tan (θ) = 0$

Schritt 3

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 3.1

Stelle die Terme um.

$2 \tan^{2} (θ) + 3 \tan (θ) - 2 = 0$

Schritt 3.2

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot - 2 = - 4$ und deren Summe gleich $b = 3$ ist.

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Schritt 3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 \tan (θ)$ heraus.

$2 \tan^{2} (θ) + 3 \tan (θ) - 2 = 0$

Schritt 3.2.2

Schreibe $3$ um als $- 1$ plus $4$

$2 \tan^{2} (θ) + (- 1 + 4) \tan (θ) - 2 = 0$

Schritt 3.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 \tan^{2} (θ) - 1 \tan (θ) + 4 \tan (θ) - 2 = 0$

Schritt 3.3

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 3.3.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$2 \tan^{2} (θ) - 1 \tan (θ) + 4 \tan (θ) - 2 = 0$

Schritt 3.3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\tan (θ) (2 \tan (θ) - 1) + 2 (2 \tan (θ) - 1) = 0$

Schritt 3.4

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 \tan (θ) - 1$ .

$(2 \tan (θ) - 1) (\tan (θ) + 2) = 0$

Schritt 4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$2 \tan (θ) - 1 = 0$

$\tan (θ) + 2 = 0$

Schritt 5

Setze $2 \tan (θ) - 1$ gleich $0$ und löse nach $θ$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $2 \tan (θ) - 1$ gleich $0$ .

$2 \tan (θ) - 1 = 0$

Schritt 5.2

Löse $2 \tan (θ) - 1 = 0$ nach $θ$ auf.

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Schritt 5.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 \tan (θ) = 1$

Schritt 5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 \tan (θ) = 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 \tan (θ) = 1$ durch $2$ .

$\frac{2 \tan (θ)}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \tan (θ)}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 5.2.2.2.1.2

Dividiere $\tan (θ)$ durch $1$ .

$\tan (θ) = \frac{1}{2}$

Schritt 5.2.3

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $θ$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$θ = \arctan (\frac{1}{2})$

Schritt 5.2.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.4.1

Berechne $\arctan (\frac{1}{2})$ .

$θ = 26.56505117$

Schritt 5.2.5

Die Tangensfunktion ist positiv im ersten und dritten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $180$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$θ = 180 + 26.56505117$

Schritt 5.2.6

Addiere $180$ und $26.56505117$ .

$θ = 206.56505117$

Schritt 5.2.7

Ermittele die Periode von $\tan (θ)$ .

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Schritt 5.2.7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{180}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{180}{| b |}$

Schritt 5.2.7.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{180}{| 1 |}$

Schritt 5.2.7.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{180}{1}$

Schritt 5.2.7.4

Dividiere $180$ durch $1$ .

$180$

Schritt 5.2.8

Die Periode der $\tan (θ)$ -Funktion ist $180$ , sodass sich die Werte alle $180$ Grad in beide Richtungen wiederholen werden.

$θ = 26.56505117 + 180 n, 206.56505117 + 180 n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 6

Setze $\tan (θ) + 2$ gleich $0$ und löse nach $θ$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $\tan (θ) + 2$ gleich $0$ .

$\tan (θ) + 2 = 0$

Schritt 6.2

Löse $\tan (θ) + 2 = 0$ nach $θ$ auf.

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Schritt 6.2.1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\tan (θ) = - 2$

Schritt 6.2.2

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $θ$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$θ = \arctan (- 2)$

Schritt 6.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.3.1

Berechne $\arctan (- 2)$ .

$θ = - 63.43494882$

Schritt 6.2.4

Die Tangensfunktion ist negativ im zweiten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $180$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$θ = - 63.43494882 - 180$

Schritt 6.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 6.2.5.1

Addiere $360 °$ zu $- 63.43494882 - 180 °$ .

$θ = - 63.43494882 - 180 ° + 360 °$

Schritt 6.2.5.2

Der resultierende Winkel von $116.56505117 °$ ist positiv und gleich $- 63.43494882 - 180$ .

$θ = 116.56505117 °$

Schritt 6.2.6

Ermittele die Periode von $\tan (θ)$ .

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Schritt 6.2.6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{180}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{180}{| b |}$

Schritt 6.2.6.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{180}{| 1 |}$

Schritt 6.2.6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{180}{1}$

Schritt 6.2.6.4

Dividiere $180$ durch $1$ .

$180$

Schritt 6.2.7

Addiere $180$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 6.2.7.1

Addiere $180$ zu $- 63.43494882$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- 63.43494882 + 180$

Schritt 6.2.7.2

Subtrahiere $63.43494882$ von $180$ .

$116.56505117$

Schritt 6.2.7.3

Liste die neuen Winkel auf.

$θ = 116.56505117$

Schritt 6.2.8

Die Periode der $\tan (θ)$ -Funktion ist $180$ , sodass sich die Werte alle $180$ Grad in beide Richtungen wiederholen werden.

$θ = 116.56505117 + 180 n, 116.56505117 + 180 n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(2 \tan (θ) - 1) (\tan (θ) + 2) = 0$ wahr machen.

$θ = 26.56505117 + 180 n, 206.56505117 + 180 n, 116.56505117 + 180 n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 8

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$θ = 26.56505117 + 90 n$ , für jede Ganzzahl $n$