Trigonometrie Beispiele

\cot^{2} (θ) - 9 = 0

$\cot^{2} (θ) - 9 = 0$

Schritt 1

Addiere

9

$9$ zu beiden Seiten der Gleichung.

\cot^{2} (θ) = 9

$\cot^{2} (θ) = 9$

Schritt 2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

\cot (θ) = \pm \sqrt{9}

$\cot (θ) = \pm \sqrt{9}$

Schritt 3

Vereinfache

\pm \sqrt{9}

$\pm \sqrt{9}$ .

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Schritt 3.1

Schreibe

9

$9$ als

3^{2}

$3^{2}$ um.

\cot (θ) = \pm \sqrt{3^{2}}

$\cot (θ) = \pm \sqrt{3^{2}}$

Schritt 3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

\cot (θ) = \pm 3

$\cot (θ) = \pm 3$

\cot (θ) = \pm 3

$\cot (θ) = \pm 3$

Schritt 4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des

\pm

$\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

\cot (θ) = 3

$\cot (θ) = 3$

Schritt 4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von

\pm

$\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

\cot (θ) = - 3

$\cot (θ) = - 3$

Schritt 4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

\cot (θ) = 3, - 3

$\cot (θ) = 3, - 3$

\cot (θ) = 3, - 3

$\cot (θ) = 3, - 3$

Schritt 5

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach

θ

$θ$ aufzulösen.

\cot (θ) = 3

$\cot (θ) = 3$

\cot (θ) = - 3

$\cot (θ) = - 3$

Schritt 6

Löse in

\cot (θ) = 3

$\cot (θ) = 3$ nach

θ

$θ$ auf.

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Schritt 6.1

Wende den inversen Kotangens auf beide Seiten der Gleichung an, um

θ

$θ$ aus dem Kotangens herauszuziehen.

θ = arccot (3)

$θ = arccot (3)$

Schritt 6.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.1

Berechne

arccot (3)

$arccot (3)$ .

θ = 18.43494882

$θ = 18.43494882$

θ = 18.43494882

$θ = 18.43494882$

Schritt 6.3

Die Kotangensfunktion ist positiv im ersten und dritten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von

180

$180$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

θ = 180 + 18.43494882

$θ = 180 + 18.43494882$

Schritt 6.4

Addiere

180

$180$ und

18.43494882

$18.43494882$ .

θ = 198.43494882

$θ = 198.43494882$

Schritt 6.5

Ermittele die Periode von

\cot (θ)

$\cot (θ)$ .

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Schritt 6.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von

\frac{180}{| b |}

$\frac{180}{| b |}$ berechnet werden.

\frac{180}{| b |}

$\frac{180}{| b |}$

Schritt 6.5.2

Ersetze

b

$b$ durch

1

$1$ in der Formel für die Periode.

\frac{180}{| 1 |}

$\frac{180}{| 1 |}$

Schritt 6.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen

0

$0$ und

1

$1$ ist

1

$1$ .

\frac{180}{1}

$\frac{180}{1}$

Schritt 6.5.4

Dividiere

180

$180$ durch

1

$1$ .

180

$180$

180

$180$

Schritt 6.6

Die Periode der

\cot (θ)

$\cot (θ)$ -Funktion ist

180

$180$ , sodass sich die Werte alle

180

$180$ Grad in beide Richtungen wiederholen werden.

θ = 18.43494882 + 180 n, 198.43494882 + 180 n

$θ = 18.43494882 + 180 n, 198.43494882 + 180 n$ , für jede Ganzzahl

n

$n$

θ = 18.43494882 + 180 n, 198.43494882 + 180 n

$θ = 18.43494882 + 180 n, 198.43494882 + 180 n$ , für jede Ganzzahl

n

$n$

Schritt 7

Löse in

\cot (θ) = - 3

$\cot (θ) = - 3$ nach

θ

$θ$ auf.

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Schritt 7.1

Wende den inversen Kotangens auf beide Seiten der Gleichung an, um

θ

$θ$ aus dem Kotangens herauszuziehen.

θ = arccot (- 3)

$θ = arccot (- 3)$

Schritt 7.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.2.1

Berechne

arccot (- 3)

$arccot (- 3)$ .

θ = 161.56505117

$θ = 161.56505117$

θ = 161.56505117

$θ = 161.56505117$

Schritt 7.3

Die Kotangens-Funktion ist im zweiten und vierten Quadranten negativ. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel aus

180

$180$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu bestimmen.

θ = 161.56505117 - 180

$θ = 161.56505117 - 180$

Schritt 7.4

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 7.4.1

Addiere

360 °

$360 °$ zu

161.56505117 - 180 °

$161.56505117 - 180 °$ .

θ = 161.56505117 - 180 ° + 360 °

$θ = 161.56505117 - 180 ° + 360 °$

Schritt 7.4.2

Der resultierende Winkel von

341.56505117 °

$341.56505117 °$ ist positiv und gleich

161.56505117 - 180

$161.56505117 - 180$ .

θ = 341.56505117 °

$θ = 341.56505117 °$

θ = 341.56505117 °

$θ = 341.56505117 °$

Schritt 7.5

Ermittele die Periode von

\cot (θ)

$\cot (θ)$ .

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Schritt 7.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von

\frac{180}{| b |}

$\frac{180}{| b |}$ berechnet werden.

\frac{180}{| b |}

$\frac{180}{| b |}$

Schritt 7.5.2

Ersetze

b

$b$ durch

1

$1$ in der Formel für die Periode.

\frac{180}{| 1 |}

$\frac{180}{| 1 |}$

Schritt 7.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen

0

$0$ und

1

$1$ ist

1

$1$ .

\frac{180}{1}

$\frac{180}{1}$

Schritt 7.5.4

Dividiere

180

$180$ durch

1

$1$ .

180

$180$

180

$180$

Schritt 7.6

Die Periode der

\cot (θ)

$\cot (θ)$ -Funktion ist

180

$180$ , sodass sich die Werte alle

180

$180$ Grad in beide Richtungen wiederholen werden.

θ = 161.56505117 + 180 n, 341.56505117 + 180 n

$θ = 161.56505117 + 180 n, 341.56505117 + 180 n$ , für jede Ganzzahl

n

$n$

θ = 161.56505117 + 180 n, 341.56505117 + 180 n

$θ = 161.56505117 + 180 n, 341.56505117 + 180 n$ , für jede Ganzzahl

n

$n$

Schritt 8

Liste alle Lösungen auf.

θ = 18.43494882 + 180 n, 198.43494882 + 180 n, 161.56505117 + 180 n, 341.56505117 + 180 n

$θ = 18.43494882 + 180 n, 198.43494882 + 180 n, 161.56505117 + 180 n, 341.56505117 + 180 n$ , für jede Ganzzahl

n

$n$

Schritt 9

Fasse die Lösungen zusammen.

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Schritt 9.1

Führe

18.43494882 + 180 n

$18.43494882 + 180 n$ und

198.43494882 + 180 n

$198.43494882 + 180 n$ zu

18.43494882 + 180 n

$18.43494882 + 180 n$ zusammen.

θ = 18.43494882 + 180 n, 161.56505117 + 180 n, 341.56505117 + 180 n

$θ = 18.43494882 + 180 n, 161.56505117 + 180 n, 341.56505117 + 180 n$ , für jede Ganzzahl

n

$n$

Schritt 9.2

Führe

161.56505117 + 180 n

$161.56505117 + 180 n$ und

341.56505117 + 180 n

$341.56505117 + 180 n$ zu

161.56505117 + 180 n

$161.56505117 + 180 n$ zusammen.

θ = 18.43494882 + 180 n, 161.56505117 + 180 n

$θ = 18.43494882 + 180 n, 161.56505117 + 180 n$ , für jede Ganzzahl

n

$n$

θ = 18.43494882 + 180 n, 161.56505117 + 180 n

$θ = 18.43494882 + 180 n, 161.56505117 + 180 n$ , für jede Ganzzahl

n

$n$