Trigonometrie Beispiele

$\cot^{2} (θ) - 9 = 0$

Schritt 1

Addiere $9$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\cot^{2} (θ) = 9$

Schritt 2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$\cot (θ) = \pm \sqrt{9}$

Schritt 3

Vereinfache $\pm \sqrt{9}$ .

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Schritt 3.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\cot (θ) = \pm \sqrt{3^{2}}$

Schritt 3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\cot (θ) = \pm 3$

Schritt 4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$\cot (θ) = 3$

Schritt 4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$\cot (θ) = - 3$

Schritt 4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$\cot (θ) = 3, - 3$

Schritt 5

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $θ$ aufzulösen.

$\cot (θ) = 3$

$\cot (θ) = - 3$

Schritt 6

Löse in $\cot (θ) = 3$ nach $θ$ auf.

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Schritt 6.1

Wende den inversen Kotangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $θ$ aus dem Kotangens herauszuziehen.

$θ = arccot (3)$

Schritt 6.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.1

Berechne $arccot (3)$ .

$θ = 18.43494882$

Schritt 6.3

Die Kotangensfunktion ist positiv im ersten und dritten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $180$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$θ = 180 + 18.43494882$

Schritt 6.4

Addiere $180$ und $18.43494882$ .

$θ = 198.43494882$

Schritt 6.5

Ermittele die Periode von $\cot (θ)$ .

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Schritt 6.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{180}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{180}{| b |}$

Schritt 6.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{180}{| 1 |}$

Schritt 6.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{180}{1}$

Schritt 6.5.4

Dividiere $180$ durch $1$ .

$180$

Schritt 6.6

Die Periode der $\cot (θ)$ -Funktion ist $180$ , sodass sich die Werte alle $180$ Grad in beide Richtungen wiederholen werden.

$θ = 18.43494882 + 180 n, 198.43494882 + 180 n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 7

Löse in $\cot (θ) = - 3$ nach $θ$ auf.

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Schritt 7.1

Wende den inversen Kotangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $θ$ aus dem Kotangens herauszuziehen.

$θ = arccot (- 3)$

Schritt 7.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.2.1

Berechne $arccot (- 3)$ .

$θ = 161.56505117$

Schritt 7.3

Die Kotangens-Funktion ist im zweiten und vierten Quadranten negativ. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel aus $180$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu bestimmen.

$θ = 161.56505117 - 180$

Schritt 7.4

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 7.4.1

Addiere $360 °$ zu $161.56505117 - 180 °$ .

$θ = 161.56505117 - 180 ° + 360 °$

Schritt 7.4.2

Der resultierende Winkel von $341.56505117 °$ ist positiv und gleich $161.56505117 - 180$ .

$θ = 341.56505117 °$

Schritt 7.5

Ermittele die Periode von $\cot (θ)$ .

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Schritt 7.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{180}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{180}{| b |}$

Schritt 7.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{180}{| 1 |}$

Schritt 7.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{180}{1}$

Schritt 7.5.4

Dividiere $180$ durch $1$ .

$180$

Schritt 7.6

Die Periode der $\cot (θ)$ -Funktion ist $180$ , sodass sich die Werte alle $180$ Grad in beide Richtungen wiederholen werden.

$θ = 161.56505117 + 180 n, 341.56505117 + 180 n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 8

Liste alle Lösungen auf.

$θ = 18.43494882 + 180 n, 198.43494882 + 180 n, 161.56505117 + 180 n, 341.56505117 + 180 n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 9

Fasse die Lösungen zusammen.

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Schritt 9.1

Führe $18.43494882 + 180 n$ und $198.43494882 + 180 n$ zu $18.43494882 + 180 n$ zusammen.

$θ = 18.43494882 + 180 n, 161.56505117 + 180 n, 341.56505117 + 180 n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 9.2

Führe $161.56505117 + 180 n$ und $341.56505117 + 180 n$ zu $161.56505117 + 180 n$ zusammen.

$θ = 18.43494882 + 180 n, 161.56505117 + 180 n$ , für jede Ganzzahl $n$