Trigonometrie Beispiele

\sec^{2} (θ) - 6 \sec (θ) + 8 = 0

$\sec^{2} (θ) - 6 \sec (θ) + 8 = 0$

Schritt 1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Es sei

u = \sec (θ)

$u = \sec (θ)$ . Ersetze

u

$u$ für alle

\sec (θ)

$\sec (θ)$ .

u^{2} - 6 u + 8 = 0

$u^{2} - 6 u + 8 = 0$

Schritt 1.2

Faktorisiere

u^{2} - 6 u + 8

$u^{2} - 6 u + 8$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.2.1

Betrachte die Form

x^{2} + b x + c

$x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt

c

$c$ und deren Summe

b

$b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt

8

$8$ und deren Summe

- 6

$- 6$ ist.

- 4, - 2

$- 4, - 2$

Schritt 1.2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

(u - 4) (u - 2) = 0

$(u - 4) (u - 2) = 0$

(u - 4) (u - 2) = 0

$(u - 4) (u - 2) = 0$

Schritt 1.3

Ersetze alle

u

$u$ durch

\sec (θ)

$\sec (θ)$ .

(\sec (θ) - 4) (\sec (θ) - 2) = 0

$(\sec (θ) - 4) (\sec (θ) - 2) = 0$

(\sec (θ) - 4) (\sec (θ) - 2) = 0

$(\sec (θ) - 4) (\sec (θ) - 2) = 0$

Schritt 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich

0

$0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich

0

$0$ .

\sec (θ) - 4 = 0

$\sec (θ) - 4 = 0$

\sec (θ) - 2 = 0

$\sec (θ) - 2 = 0$

Schritt 3

Setze

\sec (θ) - 4

$\sec (θ) - 4$ gleich

0

$0$ und löse nach

θ

$θ$ auf.

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Schritt 3.1

Setze

\sec (θ) - 4

$\sec (θ) - 4$ gleich

0

$0$ .

\sec (θ) - 4 = 0

$\sec (θ) - 4 = 0$

Schritt 3.2

Löse

\sec (θ) - 4 = 0

$\sec (θ) - 4 = 0$ nach

θ

$θ$ auf.

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Schritt 3.2.1

Addiere

4

$4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

\sec (θ) = 4

$\sec (θ) = 4$

Schritt 3.2.2

Bilde den inversen Sekans von beiden Seiten der Gleichung, um

θ

$θ$ aus dem Sekans zu ziehen.

θ = arcsec (4)

$θ = arcsec (4)$

Schritt 3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.3.1

Berechne

arcsec (4)

$arcsec (4)$ .

θ = 75.52248781

$θ = 75.52248781$

θ = 75.52248781

$θ = 75.52248781$

Schritt 3.2.4

DIe Sekans-Funktion ist im ersten und vierten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von

360

$360$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

θ = 360 - 75.52248781

$θ = 360 - 75.52248781$

Schritt 3.2.5

Subtrahiere

75.52248781

$75.52248781$ von

360

$360$ .

θ = 284.47751218

$θ = 284.47751218$

Schritt 3.2.6

Ermittele die Periode von

\sec (θ)

$\sec (θ)$ .

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Schritt 3.2.6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von

\frac{360}{| b |}

$\frac{360}{| b |}$ berechnet werden.

\frac{360}{| b |}

$\frac{360}{| b |}$

Schritt 3.2.6.2

Ersetze

b

$b$ durch

1

$1$ in der Formel für die Periode.

\frac{360}{| 1 |}

$\frac{360}{| 1 |}$

Schritt 3.2.6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen

0

$0$ und

1

$1$ ist

1

$1$ .

\frac{360}{1}

$\frac{360}{1}$

Schritt 3.2.6.4

Dividiere

360

$360$ durch

1

$1$ .

360

$360$

360

$360$

Schritt 3.2.7

Die Periode der

\sec (θ)

$\sec (θ)$ -Funktion ist

360

$360$ , sodass sich die Werte alle

360

$360$ Grad in beide Richtungen wiederholen werden.

θ = 75.52248781 + 360 n, 284.47751218 + 360 n

$θ = 75.52248781 + 360 n, 284.47751218 + 360 n$ , für jede Ganzzahl

n

$n$

θ = 75.52248781 + 360 n, 284.47751218 + 360 n

$θ = 75.52248781 + 360 n, 284.47751218 + 360 n$ , für jede Ganzzahl

n

$n$

θ = 75.52248781 + 360 n, 284.47751218 + 360 n

$θ = 75.52248781 + 360 n, 284.47751218 + 360 n$ , für jede Ganzzahl

n

$n$

Schritt 4

Setze

\sec (θ) - 2

$\sec (θ) - 2$ gleich

0

$0$ und löse nach

θ

$θ$ auf.

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Schritt 4.1

Setze

\sec (θ) - 2

$\sec (θ) - 2$ gleich

0

$0$ .

\sec (θ) - 2 = 0

$\sec (θ) - 2 = 0$

Schritt 4.2

Löse

\sec (θ) - 2 = 0

$\sec (θ) - 2 = 0$ nach

θ

$θ$ auf.

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Schritt 4.2.1

Addiere

2

$2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

\sec (θ) = 2

$\sec (θ) = 2$

Schritt 4.2.2

Bilde den inversen Sekans von beiden Seiten der Gleichung, um

θ

$θ$ aus dem Sekans zu ziehen.

θ = arcsec (2)

$θ = arcsec (2)$

Schritt 4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.3.1

Der genau Wert von

arcsec (2)

$arcsec (2)$ ist

60

$60$ .

θ = 60

$θ = 60$

θ = 60

$θ = 60$

Schritt 4.2.4

DIe Sekans-Funktion ist im ersten und vierten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von

360

$360$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

θ = 360 - 60

$θ = 360 - 60$

Schritt 4.2.5

Subtrahiere

60

$60$ von

360

$360$ .

θ = 300

$θ = 300$

Schritt 4.2.6

Ermittele die Periode von

\sec (θ)

$\sec (θ)$ .

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Schritt 4.2.6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von

\frac{360}{| b |}

$\frac{360}{| b |}$ berechnet werden.

\frac{360}{| b |}

$\frac{360}{| b |}$

Schritt 4.2.6.2

Ersetze

b

$b$ durch

1

$1$ in der Formel für die Periode.

\frac{360}{| 1 |}

$\frac{360}{| 1 |}$

Schritt 4.2.6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen

0

$0$ und

1

$1$ ist

1

$1$ .

\frac{360}{1}

$\frac{360}{1}$

Schritt 4.2.6.4

Dividiere

360

$360$ durch

1

$1$ .

360

$360$

360

$360$

Schritt 4.2.7

Die Periode der

\sec (θ)

$\sec (θ)$ -Funktion ist

360

$360$ , sodass sich die Werte alle

360

$360$ Grad in beide Richtungen wiederholen werden.

θ = 60 + 360 n, 300 + 360 n

$θ = 60 + 360 n, 300 + 360 n$ , für jede Ganzzahl

n

$n$

θ = 60 + 360 n, 300 + 360 n

$θ = 60 + 360 n, 300 + 360 n$ , für jede Ganzzahl

n

$n$

θ = 60 + 360 n, 300 + 360 n

$θ = 60 + 360 n, 300 + 360 n$ , für jede Ganzzahl

n

$n$

Schritt 5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die

(\sec (θ) - 4) (\sec (θ) - 2) = 0

$(\sec (θ) - 4) (\sec (θ) - 2) = 0$ wahr machen.

θ = 75.52248781 + 360 n, 284.47751218 + 360 n, 60 + 360 n, 300 + 360 n

$θ = 75.52248781 + 360 n, 284.47751218 + 360 n, 60 + 360 n, 300 + 360 n$ , für jede Ganzzahl

n

$n$