Trigonometrie Beispiele

$(- \frac{\sqrt{5}}{3}, - \frac{2}{3})$

Schritt 1

Um den $\csc (θ)$ zwischen der x-Achse und der Geraden zwischen den Punkten $(0, 0)$ und $(- \frac{\sqrt{5}}{3}, - \frac{2}{3})$ zu ermitteln, zeichne das Dreieck zwischen den drei Punkten $(0, 0)$ , $(- \frac{\sqrt{5}}{3}, 0)$ und $(- \frac{\sqrt{5}}{3}, - \frac{2}{3})$ .

Gegenüberliegend : $- \frac{2}{3}$

Ankathete : $- \frac{\sqrt{5}}{3}$

Schritt 2

Berechne die Hypotenuse unter Anwendung des Satzes von Pythagoras $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

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Schritt 2.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 2.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{\sqrt{5}}{3}$ an.

$\sqrt{{(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{5}}{3})}^{2} + {(- \frac{2}{3})}^{2}}$

Schritt 2.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{5}}{3}$ an.

$\sqrt{{(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt{5}}^{2}}{3^{2}} + {(- \frac{2}{3})}^{2}}$

Schritt 2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$\sqrt{1 \frac{{\sqrt{5}}^{2}}{3^{2}} + {(- \frac{2}{3})}^{2}}$

Schritt 2.2.2

Mutltipliziere $\frac{{\sqrt{5}}^{2}}{3^{2}}$ mit $1$ .

$\sqrt{\frac{{\sqrt{5}}^{2}}{3^{2}} + {(- \frac{2}{3})}^{2}}$

Schritt 2.3

Schreibe ${\sqrt{5}}^{2}$ als $5$ um.

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Schritt 2.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5}$ als $5^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sqrt{\frac{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}} + {(- \frac{2}{3})}^{2}}$

Schritt 2.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}} + {(- \frac{2}{3})}^{2}}$

Schritt 2.3.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sqrt{\frac{5^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + {(- \frac{2}{3})}^{2}}$

Schritt 2.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{\frac{5^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + {(- \frac{2}{3})}^{2}}$

Schritt 2.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{\frac{5^{1}}{3^{2}} + {(- \frac{2}{3})}^{2}}$

Schritt 2.3.5

Berechne den Exponenten.

$\sqrt{\frac{5}{3^{2}} + {(- \frac{2}{3})}^{2}}$

Schritt 2.4

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{5}{9} + {(- \frac{2}{3})}^{2}}$

Schritt 2.5

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 2.5.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{2}{3}$ an.

$\sqrt{\frac{5}{9} + {(- 1)}^{2} {(\frac{2}{3})}^{2}}$

Schritt 2.5.2

Wende die Produktregel auf $\frac{2}{3}$ an.

$\sqrt{\frac{5}{9} + {(- 1)}^{2} \frac{2^{2}}{3^{2}}}$

Schritt 2.6

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{5}{9} + 1 \frac{2^{2}}{3^{2}}}$

Schritt 2.7

Mutltipliziere $\frac{2^{2}}{3^{2}}$ mit $1$ .

$\sqrt{\frac{5}{9} + \frac{2^{2}}{3^{2}}}$

Schritt 2.8

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{5}{9} + \frac{4}{3^{2}}}$

Schritt 2.9

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{5}{9} + \frac{4}{9}}$

Schritt 2.10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{5 + 4}{9}}$

Schritt 2.11

Addiere $5$ und $4$ .

$\sqrt{\frac{9}{9}}$

Schritt 2.12

Dividiere $9$ durch $9$ .

$\sqrt{1}$

Schritt 2.13

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$1$

Schritt 3

Aus $\csc (θ) = \frac{Hypotenuse}{Gegenüberliegend}$ folgt $\csc (θ) = \frac{1}{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{1}{- \frac{2}{3}}$

Schritt 4

Vereinfache $\csc (θ)$ .

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Schritt 4.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1$ und $- 1$ .

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Schritt 4.1.1

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$\csc (θ) = \frac{- 1 \cdot - 1}{- \frac{2}{3}}$

Schritt 4.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\csc (θ) = - \frac{1}{\frac{2}{3}}$

Schritt 4.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\csc (θ) = - (1 (\frac{3}{2}))$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $\frac{3}{2}$ mit $1$ .

$\csc (θ) = - \frac{3}{2}$

Schritt 5

Approximiere das Ergebnis.

$\csc (θ) = - \frac{3}{2} \approx - 1.5$