Trigonometrie Beispiele

$\tan (θ) = 2 \sin (θ)$

Schritt 1

Teile jeden Ausdruck in $\tan (θ) = 2 \sin (θ)$ durch $\tan (θ)$ und vereinfache.

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Schritt 1.1

Teile jeden Ausdruck in $\tan (θ) = 2 \sin (θ)$ durch $\tan (θ)$ .

$\frac{\tan (θ)}{\tan (θ)} = \frac{2 \sin (θ)}{\tan (θ)}$

Schritt 1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\tan (θ)$ .

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Schritt 1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\tan (θ)}{\tan (θ)} = \frac{2 \sin (θ)}{\tan (θ)}$

Schritt 1.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$1 = \frac{2 \sin (θ)}{\tan (θ)}$

Schritt 1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.1

Separiere Brüche.

$1 = \frac{2}{1} \cdot \frac{\sin (θ)}{\tan (θ)}$

Schritt 1.3.2

Schreibe $\tan (θ)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$1 = \frac{2}{1} \cdot \frac{\sin (θ)}{\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}}$

Schritt 1.3.3

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ zu dividieren.

$1 = \frac{2}{1} (\sin (θ) \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})$

Schritt 1.3.4

Schreibe $\sin (θ)$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$1 = \frac{2}{1} (\frac{\sin (θ)}{1} \cdot \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})$

Schritt 1.3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (θ)$ .

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Schritt 1.3.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 = \frac{2}{1} (\frac{\sin (θ)}{1} \cdot \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})$

Schritt 1.3.5.2

Forme den Ausdruck um.

$1 = \frac{2}{1} \cos (θ)$

Schritt 1.3.6

Dividiere $2$ durch $1$ .

$1 = 2 \cos (θ)$

Schritt 2

Schreibe die Gleichung als $2 \cos (θ) = 1$ um.

$2 \cos (θ) = 1$

Schritt 3

Teile jeden Ausdruck in $2 \cos (θ) = 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 \cos (θ) = 1$ durch $2$ .

$\frac{2 \cos (θ)}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cos (θ)}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 3.2.1.2

Dividiere $\cos (θ)$ durch $1$ .

$\cos (θ) = \frac{1}{2}$

Schritt 4

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $θ$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$θ = \arccos (\frac{1}{2})$

Schritt 5

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.1

Der genau Wert von $\arccos (\frac{1}{2})$ ist $\frac{π}{3}$ .

$θ = \frac{π}{3}$

Schritt 6

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$θ = 2 π - \frac{π}{3}$

Schritt 7

Vereinfache $2 π - \frac{π}{3}$ .

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Schritt 7.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$θ = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Schritt 7.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 7.2.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{3}{3}$ .

$θ = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Schritt 7.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$θ = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Schritt 7.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.3.1

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$θ = \frac{6 π - π}{3}$

Schritt 7.3.2

Subtrahiere $π$ von $6 π$ .

$θ = \frac{5 π}{3}$

Schritt 8

Ermittele die Periode von $\cos (θ)$ .

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Schritt 8.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 8.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 8.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 8.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 9

Die Periode der Funktion $\cos (θ)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$θ = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$