Trigonometrie Beispiele

$\sec (θ) = - \sqrt{5}$

Schritt 1

Benutze die Definition des Sekans, um die bekannten Seiten des rechtwinkligen Dreiecks im Einheitskreis zu ermitteln. Der Quadrant bestimmt das Vorzeichen jedes Wertes.

$\sec (θ) = \frac{Hypotenuse}{Ankathete}$

Schritt 2

Berechne die Gegenkathete des Dreiecks im Einheitskreis. Da die Ankathete und die Hypotenuse bekannt sind, kannst du den Satz des Pythagoras anwenden, um die verbleibende Seite zu berechnen.

$Gegenüberliegend = - \sqrt{{Hypotenuse}^{2} - {Ankathete}^{2}}$

Schritt 3

Ersetze die bekannten Werte in der Gleichung.

$Gegenüberliegend = - \sqrt{{(\sqrt{5})}^{2} - {(- 1)}^{2}}$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck unter dem Wurzelzeichen.

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Schritt 4.1

Kehre das Vorzeichen von $\sqrt{{(\sqrt{5})}^{2} - {(- 1)}^{2}}$ um.

Gegenkathete $= - \sqrt{{(\sqrt{5})}^{2} - {(- 1)}^{2}}$

Schritt 4.2

Schreibe ${\sqrt{5}}^{2}$ als $5$ um.

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Schritt 4.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5}$ als $5^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

Gegenkathete $= - \sqrt{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2} - {(- 1)}^{2}}$

Schritt 4.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

Gegenkathete $= - \sqrt{5^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {(- 1)}^{2}}$

Schritt 4.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

Gegenkathete $= - \sqrt{5^{\frac{2}{2}} - {(- 1)}^{2}}$

Schritt 4.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Gegenkathete $= - \sqrt{5^{\frac{2}{2}} - {(- 1)}^{2}}$

Schritt 4.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

Gegenkathete $= - \sqrt{5 - {(- 1)}^{2}}$

Schritt 4.2.5

Berechne den Exponenten.

Gegenkathete $= - \sqrt{5 - {(- 1)}^{2}}$

Schritt 4.3

Multipliziere $- 1$ mit ${(- 1)}^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit ${(- 1)}^{2}$ .

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Schritt 4.3.1.1

Potenziere $- 1$ mit $1$ .

Gegenkathete $= - \sqrt{5 + (- 1) {(- 1)}^{2}}$

Schritt 4.3.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

Gegenkathete $= - \sqrt{5 + {(- 1)}^{1 + 2}}$

Schritt 4.3.2

Addiere $1$ und $2$ .

Gegenkathete $= - \sqrt{5 + {(- 1)}^{3}}$

Schritt 4.4

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

Gegenkathete $= - \sqrt{5 - 1}$

Schritt 4.5

Subtrahiere $1$ von $5$ .

Gegenkathete $= - \sqrt{4}$

Schritt 4.6

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

Gegenkathete $= - \sqrt{2^{2}}$

Schritt 4.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

Gegenkathete $= - 1 \cdot 2$

Schritt 4.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

Gegenkathete $= - 2$

Schritt 5

Ermittle den Wert des Sinus.

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Schritt 5.1

Bestimme den Wert von $\sin (θ)$ mithilfe der Definition des Sinus.

$\sin (θ) = \frac{opp}{hyp}$

Schritt 5.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\sin (θ) = \frac{- 2}{\sqrt{5}}$

Schritt 5.3

Vereinfache den Wert von $\sin (θ)$ .

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Schritt 5.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\sin (θ) = - \frac{2}{\sqrt{5}}$

Schritt 5.3.2

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{5}}$ mit $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\sin (θ) = - (\frac{2}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}})$

Schritt 5.3.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{5}}$ mit $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\sin (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Schritt 5.3.3.2

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$\sin (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Schritt 5.3.3.3

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$\sin (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Schritt 5.3.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sin (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Schritt 5.3.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\sin (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Schritt 5.3.3.6

Schreibe ${\sqrt{5}}^{2}$ als $5$ um.

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Schritt 5.3.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5}$ als $5^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sin (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 5.3.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 5.3.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sin (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 5.3.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 5.3.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sin (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Schritt 5.3.3.6.5

Berechne den Exponenten.

$\sin (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Schritt 6

Berechne den Wert des Kosinus.

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Schritt 6.1

Bestimme den Wert von $\cos (θ)$ mithilfe der Definition des Kosinus.

$\cos (θ) = \frac{adj}{hyp}$

Schritt 6.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\cos (θ) = \frac{- 1}{\sqrt{5}}$

Schritt 6.3

Vereinfache den Wert von $\cos (θ)$ .

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Schritt 6.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\cos (θ) = - \frac{1}{\sqrt{5}}$

Schritt 6.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{5}}$ mit $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\cos (θ) = - (\frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}})$

Schritt 6.3.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{5}}$ mit $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Schritt 6.3.3.2

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Schritt 6.3.3.3

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Schritt 6.3.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Schritt 6.3.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Schritt 6.3.3.6

Schreibe ${\sqrt{5}}^{2}$ als $5$ um.

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Schritt 6.3.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5}$ als $5^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 6.3.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 6.3.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 6.3.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.3.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 6.3.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{5}$

Schritt 6.3.3.6.5

Berechne den Exponenten.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{5}$

Schritt 7

Bestimme den Wert des Tangens.

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Schritt 7.1

Benutze die Definition des Tangens, um den Wert von $\tan (θ)$ zu ermitteln.

$\tan (θ) = \frac{opp}{adj}$

Schritt 7.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\tan (θ) = \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 7.3

Dividiere $- 2$ durch $- 1$ .

$\tan (θ) = 2$

Schritt 8

Berechne den Wert des Kotangens.

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Schritt 8.1

Bestimme den Wert von $\cot (θ)$ mithilfe der Definition des Kotangens.

$\cot (θ) = \frac{adj}{opp}$

Schritt 8.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\cot (θ) = \frac{- 1}{- 2}$

Schritt 8.3

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\cot (θ) = \frac{1}{2}$

Schritt 9

Berechne den Wert des Kosekans.

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Schritt 9.1

Bestimme den Wert von $\csc (θ)$ mithilfe der Definition des Kosekans.

$\csc (θ) = \frac{hyp}{opp}$

Schritt 9.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\csc (θ) = \frac{\sqrt{5}}{- 2}$

Schritt 9.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\csc (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{2}$

Schritt 10

Das ist die Lösung zu jedem trigonometrischen Wert.

$\sin (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{5}$

$\tan (θ) = 2$

$\cot (θ) = \frac{1}{2}$

$\sec (θ) = - \sqrt{5}$

$\csc (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{2}$