Trigonometrie Beispiele

$4 \csc^{2} (θ) - 25 = 0$

Schritt 1

Addiere $25$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 \csc^{2} (θ) = 25$

Schritt 2

Teile jeden Ausdruck in $4 \csc^{2} (θ) = 25$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 \csc^{2} (θ) = 25$ durch $4$ .

$\frac{4 \csc^{2} (θ)}{4} = \frac{25}{4}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \csc^{2} (θ)}{4} = \frac{25}{4}$

Schritt 2.2.1.2

Dividiere $\csc^{2} (θ)$ durch $1$ .

$\csc^{2} (θ) = \frac{25}{4}$

Schritt 3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$\csc (θ) = \pm \sqrt{\frac{25}{4}}$

Schritt 4

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{25}{4}}$ .

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Schritt 4.1

Schreibe $\sqrt{\frac{25}{4}}$ als $\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{4}}$ um.

$\csc (θ) = \pm \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{4}}$

Schritt 4.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$\csc (θ) = \pm \frac{\sqrt{5^{2}}}{\sqrt{4}}$

Schritt 4.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\csc (θ) = \pm \frac{5}{\sqrt{4}}$

Schritt 4.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.3.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\csc (θ) = \pm \frac{5}{\sqrt{2^{2}}}$

Schritt 4.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\csc (θ) = \pm \frac{5}{2}$

Schritt 5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$\csc (θ) = \frac{5}{2}$

Schritt 5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$\csc (θ) = - \frac{5}{2}$

Schritt 5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$\csc (θ) = \frac{5}{2}, - \frac{5}{2}$

Schritt 6

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $θ$ aufzulösen.

$\csc (θ) = \frac{5}{2}$

$\csc (θ) = - \frac{5}{2}$

Schritt 7

Löse in $\csc (θ) = \frac{5}{2}$ nach $θ$ auf.

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Schritt 7.1

Wende den inversen Kosekans auf beide Seiten der Gleichung an, um $θ$ aus dem Kosekans herauszuziehen.

$θ = arccsc (\frac{5}{2})$

Schritt 7.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.2.1

Berechne $arccsc (\frac{5}{2})$ .

$θ = 23.57817847$

Schritt 7.3

Die Kosekansfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $180$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$θ = 180 - 23.57817847$

Schritt 7.4

Subtrahiere $23.57817847$ von $180$ .

$θ = 156.42182152$

Schritt 7.5

Ermittele die Periode von $\csc (θ)$ .

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Schritt 7.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{360}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{360}{| b |}$

Schritt 7.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{360}{| 1 |}$

Schritt 7.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{360}{1}$

Schritt 7.5.4

Dividiere $360$ durch $1$ .

$360$

Schritt 7.6

Die Periode der $\csc (θ)$ -Funktion ist $360$ , sodass sich die Werte alle $360$ Grad in beide Richtungen wiederholen werden.

$θ = 23.57817847 + 360 n, 156.42182152 + 360 n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 8

Löse in $\csc (θ) = - \frac{5}{2}$ nach $θ$ auf.

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Schritt 8.1

Wende den inversen Kosekans auf beide Seiten der Gleichung an, um $θ$ aus dem Kosekans herauszuziehen.

$θ = arccsc (- \frac{5}{2})$

Schritt 8.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.2.1

Berechne $arccsc (- \frac{5}{2})$ .

$θ = - 23.57817847$

Schritt 8.3

Die Kosekansfunktion ist negativ im dritten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere die Lösung von $360$ , um den Referenzwinkel zu finden. Addiere dann diesen Referenzwinkel zu $180$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$θ = 360 + 23.57817847 + 180$

Schritt 8.4

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 8.4.1

Subtrahiere $360 °$ von $360 + 23.57817847 + 180 °$ .

$θ = 360 + 23.57817847 + 180 ° - 360 °$

Schritt 8.4.2

Der resultierende Winkel von $203.57817847 °$ ist positiv, kleiner als $360 °$ und gleich $360 + 23.57817847 + 180$ .

$θ = 203.57817847 °$

Schritt 8.5

Ermittele die Periode von $\csc (θ)$ .

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Schritt 8.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{360}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{360}{| b |}$

Schritt 8.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{360}{| 1 |}$

Schritt 8.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{360}{1}$

Schritt 8.5.4

Dividiere $360$ durch $1$ .

$360$

Schritt 8.6

Addiere $360$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 8.6.1

Addiere $360$ zu $- 23.57817847$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- 23.57817847 + 360$

Schritt 8.6.2

Subtrahiere $23.57817847$ von $360$ .

$336.42182152$

Schritt 8.6.3

Liste die neuen Winkel auf.

$θ = 336.42182152$

Schritt 8.7

Die Periode der $\csc (θ)$ -Funktion ist $360$ , sodass sich die Werte alle $360$ Grad in beide Richtungen wiederholen werden.

$θ = 203.57817847 + 360 n, 336.42182152 + 360 n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 9

Liste alle Lösungen auf.

$θ = 23.57817847 + 360 n, 156.42182152 + 360 n, 203.57817847 + 360 n, 336.42182152 + 360 n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 10

Fasse die Lösungen zusammen.

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Schritt 10.1

Führe $23.57817847 + 360 n$ und $203.57817847 + 360 n$ zu $23.57817847 + 180 n$ zusammen.

$θ = 23.57817847 + 180 n, 156.42182152 + 360 n, 336.42182152 + 360 n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 10.2

Führe $156.42182152 + 360 n$ und $336.42182152 + 360 n$ zu $156.42182152 + 180 n$ zusammen.

$θ = 23.57817847 + 180 n, 156.42182152 + 180 n$ , für jede Ganzzahl $n$