Trigonometrie Beispiele

$\tan (θ) = \frac{24}{7}$ , $\sin (θ) < 0$

Schritt 1

The sine function is negative in the third and fourth quadrants. The tangent function is positive in the first and third quadrants. The set of solutions for $θ$ are limited to the third quadrant since that is the only quadrant found in both sets.

Die Lösung liegt im dritten Quadranten.

Schritt 2

Benutze die Definition des Tangens, um die bekannten Seiten des rechtwinkligen Dreiecks im Einheitskreis zu ermitteln. Der Quadrant bestimmt das Vorzeichen jedes Wertes.

$\tan (θ) = \frac{gegenüber}{Ankathete}$

Schritt 3

Berechne die Hypotenuse des Dreiecks im Einheitskreis. Da die Gegenkathete und die Ankathete bekannt sind, kannst du den Satz des Pythagoras anwenden, um die verbleibende Seite zu berechnen.

$Hypotenuse = \sqrt{{gegenüber}^{2} + {Ankathete}^{2}}$

Schritt 4

Ersetze die bekannten Werte in der Gleichung.

$Hypotenuse = \sqrt{{(- 24)}^{2} + {(- 7)}^{2}}$

Schritt 5

Vereinfache den Ausdruck unter dem Wurzelzeichen.

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Schritt 5.1

Potenziere $- 24$ mit $2$ .

Hypothenuse $= \sqrt{576 + {(- 7)}^{2}}$

Schritt 5.2

Potenziere $- 7$ mit $2$ .

Hypothenuse $= \sqrt{576 + 49}$

Schritt 5.3

Addiere $576$ und $49$ .

Hypothenuse $= \sqrt{625}$

Schritt 5.4

Schreibe $625$ als $25^{2}$ um.

Hypothenuse $= \sqrt{25^{2}}$

Schritt 5.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

Hypothenuse $= 25$

Schritt 6

Ermittle den Wert des Sinus.

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Schritt 6.1

Bestimme den Wert von $\sin (θ)$ mithilfe der Definition des Sinus.

$\sin (θ) = \frac{opp}{hyp}$

Schritt 6.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\sin (θ) = \frac{- 24}{25}$

Schritt 6.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\sin (θ) = - \frac{24}{25}$

Schritt 7

Berechne den Wert des Kosinus.

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Schritt 7.1

Bestimme den Wert von $\cos (θ)$ mithilfe der Definition des Kosinus.

$\cos (θ) = \frac{adj}{hyp}$

Schritt 7.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\cos (θ) = \frac{- 7}{25}$

Schritt 7.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\cos (θ) = - \frac{7}{25}$

Schritt 8

Berechne den Wert des Kotangens.

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Schritt 8.1

Bestimme den Wert von $\cot (θ)$ mithilfe der Definition des Kotangens.

$\cot (θ) = \frac{adj}{opp}$

Schritt 8.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\cot (θ) = \frac{- 7}{- 24}$

Schritt 8.3

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\cot (θ) = \frac{7}{24}$

Schritt 9

Berechne den Wert des Sekans.

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Schritt 9.1

Bestimme den Wert von $\sec (θ)$ mithilfe der Definition des Sekans.

$\sec (θ) = \frac{hyp}{adj}$

Schritt 9.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\sec (θ) = \frac{25}{- 7}$

Schritt 9.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\sec (θ) = - \frac{25}{7}$

Schritt 10

Berechne den Wert des Kosekans.

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Schritt 10.1

Bestimme den Wert von $\csc (θ)$ mithilfe der Definition des Kosekans.

$\csc (θ) = \frac{hyp}{opp}$

Schritt 10.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\csc (θ) = \frac{25}{- 24}$

Schritt 10.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\csc (θ) = - \frac{25}{24}$

Schritt 11

Das ist die Lösung zu jedem trigonometrischen Wert.

$\sin (θ) = - \frac{24}{25}$

$\cos (θ) = - \frac{7}{25}$

$\tan (θ) = \frac{24}{7}$

$\cot (θ) = \frac{7}{24}$

$\sec (θ) = - \frac{25}{7}$

$\csc (θ) = - \frac{25}{24}$