Trigonometrie Beispiele

$\csc (θ) = 4$ , $\cot (θ) < 0$

Schritt 1

The cotangent function is negative in the second and fourth quadrants. The cosecant function is positive in the first and second quadrants. The set of solutions for $θ$ are limited to the second quadrant since that is the only quadrant found in both sets.

Die Lösung liegt im zweiten Quadranten.

Schritt 2

Benutze die Definition des Kosekans, um die bekannten Seiten des rechtwinkligen Dreiecks im Einheitskreis zu ermitteln. Der Quadrant bestimmt das Vorzeichen jedes der Werte.

$\csc (θ) = \frac{Hypotenuse}{gegenüber}$

Schritt 3

Berechne die Ankathete des Dreiecks im Einheitskreis. Da die Hypotenuse und die Gegenkathete bekannt sind, kannst du den Satz des Pythagoras anwenden, um die verbleibende Seite zu berechnen.

$Ankathete = - \sqrt{{Hypotenuse}^{2} - {gegenüber}^{2}}$

Schritt 4

Ersetze die bekannten Werte in der Gleichung.

$Ankathete = - \sqrt{{(4)}^{2} - {(1)}^{2}}$

Schritt 5

Vereinfache den Ausdruck unter dem Wurzelzeichen.

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Schritt 5.1

Kehre das Vorzeichen von $\sqrt{{(4)}^{2} - {(1)}^{2}}$ um.

Ankathete $= - \sqrt{{(4)}^{2} - {(1)}^{2}}$

Schritt 5.2

Potenziere $4$ mit $2$ .

Ankathete $= - \sqrt{16 - {(1)}^{2}}$

Schritt 5.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

Ankathete $= - \sqrt{16 - 1 \cdot 1}$

Schritt 5.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

Ankathete $= - \sqrt{16 - 1}$

Schritt 5.5

Subtrahiere $1$ von $16$ .

Ankathete $= - \sqrt{15}$

Schritt 6

Ermittle den Wert des Sinus.

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Schritt 6.1

Bestimme den Wert von $\sin (θ)$ mithilfe der Definition des Sinus.

$\sin (θ) = \frac{opp}{hyp}$

Schritt 6.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\sin (θ) = \frac{1}{4}$

Schritt 7

Berechne den Wert des Kosinus.

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Schritt 7.1

Bestimme den Wert von $\cos (θ)$ mithilfe der Definition des Kosinus.

$\cos (θ) = \frac{adj}{hyp}$

Schritt 7.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\cos (θ) = \frac{- \sqrt{15}}{4}$

Schritt 7.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{15}}{4}$

Schritt 8

Bestimme den Wert des Tangens.

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Schritt 8.1

Benutze die Definition des Tangens, um den Wert von $\tan (θ)$ zu ermitteln.

$\tan (θ) = \frac{opp}{adj}$

Schritt 8.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\tan (θ) = \frac{1}{- \sqrt{15}}$

Schritt 8.3

Vereinfache den Wert von $\tan (θ)$ .

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Schritt 8.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1$ und $- 1$ .

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Schritt 8.3.1.1

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$\tan (θ) = \frac{- 1 \cdot - 1}{- \sqrt{15}}$

Schritt 8.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\tan (θ) = - \frac{1}{\sqrt{15}}$

Schritt 8.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{15}}$ mit $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$ .

$\tan (θ) = - (\frac{1}{\sqrt{15}} \cdot \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}})$

Schritt 8.3.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{15}}$ mit $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$ .

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15} \sqrt{15}}$

Schritt 8.3.3.2

Potenziere $\sqrt{15}$ mit $1$ .

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15} \sqrt{15}}$

Schritt 8.3.3.3

Potenziere $\sqrt{15}$ mit $1$ .

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15} \sqrt{15}}$

Schritt 8.3.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{15}}{{\sqrt{15}}^{1 + 1}}$

Schritt 8.3.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{15}}{{\sqrt{15}}^{2}}$

Schritt 8.3.3.6

Schreibe ${\sqrt{15}}^{2}$ als $15$ um.

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Schritt 8.3.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{15}$ als $15^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{15}}{{(15^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 8.3.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{15}}{15^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 8.3.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{15}}{15^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 8.3.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.3.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{15}}{15^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 8.3.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{15}}{15}$

Schritt 8.3.3.6.5

Berechne den Exponenten.

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{15}}{15}$

Schritt 9

Berechne den Wert des Kotangens.

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Schritt 9.1

Bestimme den Wert von $\cot (θ)$ mithilfe der Definition des Kotangens.

$\cot (θ) = \frac{adj}{opp}$

Schritt 9.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\cot (θ) = \frac{- \sqrt{15}}{1}$

Schritt 9.3

Dividiere $- \sqrt{15}$ durch $1$ .

$\cot (θ) = - \sqrt{15}$

Schritt 10

Berechne den Wert des Sekans.

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Schritt 10.1

Bestimme den Wert von $\sec (θ)$ mithilfe der Definition des Sekans.

$\sec (θ) = \frac{hyp}{adj}$

Schritt 10.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\sec (θ) = \frac{4}{- \sqrt{15}}$

Schritt 10.3

Vereinfache den Wert von $\sec (θ)$ .

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Schritt 10.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\sec (θ) = - \frac{4}{\sqrt{15}}$

Schritt 10.3.2

Mutltipliziere $\frac{4}{\sqrt{15}}$ mit $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$ .

$\sec (θ) = - (\frac{4}{\sqrt{15}} \cdot \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}})$

Schritt 10.3.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 10.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{4}{\sqrt{15}}$ mit $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$ .

$\sec (θ) = - \frac{4 \sqrt{15}}{\sqrt{15} \sqrt{15}}$

Schritt 10.3.3.2

Potenziere $\sqrt{15}$ mit $1$ .

$\sec (θ) = - \frac{4 \sqrt{15}}{\sqrt{15} \sqrt{15}}$

Schritt 10.3.3.3

Potenziere $\sqrt{15}$ mit $1$ .

$\sec (θ) = - \frac{4 \sqrt{15}}{\sqrt{15} \sqrt{15}}$

Schritt 10.3.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sec (θ) = - \frac{4 \sqrt{15}}{{\sqrt{15}}^{1 + 1}}$

Schritt 10.3.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\sec (θ) = - \frac{4 \sqrt{15}}{{\sqrt{15}}^{2}}$

Schritt 10.3.3.6

Schreibe ${\sqrt{15}}^{2}$ als $15$ um.

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Schritt 10.3.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{15}$ als $15^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sec (θ) = - \frac{4 \sqrt{15}}{{(15^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 10.3.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sec (θ) = - \frac{4 \sqrt{15}}{15^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 10.3.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sec (θ) = - \frac{4 \sqrt{15}}{15^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 10.3.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 10.3.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sec (θ) = - \frac{4 \sqrt{15}}{15^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 10.3.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sec (θ) = - \frac{4 \sqrt{15}}{15}$

Schritt 10.3.3.6.5

Berechne den Exponenten.

$\sec (θ) = - \frac{4 \sqrt{15}}{15}$

Schritt 11

Das ist die Lösung zu jedem trigonometrischen Wert.

$\sin (θ) = \frac{1}{4}$

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{15}}{4}$

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{15}}{15}$

$\cot (θ) = - \sqrt{15}$

$\sec (θ) = - \frac{4 \sqrt{15}}{15}$

$\csc (θ) = 4$