Trigonometrie Beispiele

$\sin (x) \tan (x) + \cos (x) - \sec (x) + 1 = \sec^{2} (x) \cos^{2} (x)$

Schritt 1

Beginne auf der linken Seite.

$\sin (x) \tan (x) + \cos (x) - \sec (x) + 1$

Schritt 2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1

Schreibe $\tan (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) - \sec (x) + 1$

Schritt 2.1.2

Multipliziere $\sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

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Schritt 2.1.2.1

Kombiniere $\sin (x)$ und $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) - \sec (x) + 1$

Schritt 2.1.2.2

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{\sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) - \sec (x) + 1$

Schritt 2.1.2.3

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos (x)} + \cos (x) - \sec (x) + 1$

Schritt 2.1.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{{\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)} + \cos (x) - \sec (x) + 1$

Schritt 2.1.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \cos (x) - \sec (x) + 1$

Schritt 2.1.3

Schreibe $\sec (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \cos (x) - \frac{1}{\cos (x)} + 1$

Schritt 2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\cos (x) + 1 + \frac{\sin^{2} (x) - 1}{\cos (x)}$

Schritt 2.3

Stelle $\sin^{2} (x)$ und $- 1$ um.

$\cos (x) + 1 + \frac{- 1 + \sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Schritt 2.4

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$\cos (x) + 1 + \frac{- 1 (1) + \sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Schritt 2.5

Faktorisiere $- 1$ aus $\sin^{2} (x)$ heraus.

$\cos (x) + 1 + \frac{- 1 (1) - 1 (- \sin^{2} (x))}{\cos (x)}$

Schritt 2.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1) - 1 (- \sin^{2} (x))$ heraus.

$\cos (x) + 1 + \frac{- 1 (1 - \sin^{2} (x))}{\cos (x)}$

Schritt 2.7

Schreibe $- 1 (1 - \sin^{2} (x))$ als $- (1 - \sin^{2} (x))$ um.

$\cos (x) + 1 + \frac{- (1 - \sin^{2} (x))}{\cos (x)}$

Schritt 2.8

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\cos (x) + 1 + \frac{- \cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

Schritt 2.9

Kürze den gemeinsamen Teiler von $\cos^{2} (x)$ und $\cos (x)$ .

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Schritt 2.9.1

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $- \cos^{2} (x)$ heraus.

$\cos (x) + 1 + \frac{\cos (x) (- \cos (x))}{\cos (x)}$

Schritt 2.9.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.9.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$\cos (x) + 1 + \frac{\cos (x) (- \cos (x))}{\cos (x) \cdot 1}$

Schritt 2.9.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cos (x) + 1 + \frac{\cos (x) (- \cos (x))}{\cos (x) \cdot 1}$

Schritt 2.9.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\cos (x) + 1 + \frac{- \cos (x)}{1}$

Schritt 2.9.2.4

Dividiere $- \cos (x)$ durch $1$ .

$\cos (x) + 1 - \cos (x)$

Schritt 2.10

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\cos (x) + 1 - \cos (x)$ .

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Schritt 2.10.1

Subtrahiere $\cos (x)$ von $\cos (x)$ .

$0 + 1$

Schritt 2.10.2

Addiere $0$ und $1$ .

$1$

Schritt 3

Schreibe $1$ als $\sec^{2} (x) \cos^{2} (x)$ um.

$\sec^{2} (x) \cos^{2} (x)$

Schritt 4

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\sin (x) \tan (x) + \cos (x) - \sec (x) + 1 = \sec^{2} (x) \cos^{2} (x)$ ist eine Identitätsgleichung