Trigonometrie Beispiele

$\frac{\tan (x)}{1 - \tan^{2} (x)} = \frac{\sin (x) \cos (x)}{2 \cos^{2} (x) - 1}$

Schritt 1

Beginne auf der linken Seite.

$\frac{\tan (x)}{1 - \tan^{2} (x)}$

Schritt 2

Wende den umgekehrten trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{\tan (x)}{1 - (\sec^{2} (x) - 1)}$

Schritt 3

Wandle in Sinus und Kosinus um.

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Schritt 3.1

Schreibe $\tan (x)$ mit Sinus und Kosinus mithilfe der Quotienten-Identitätsgleichung.

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{1 - (\sec^{2} (x) - 1)}$

Schritt 3.2

Wende die Kehrwertfunktion auf $\sec (x)$ an.

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{1 - ({(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} - 1)}$

Schritt 3.3

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\cos (x)}$ an.

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{1 - (\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} - 1)}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{1 - (\frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1)}$

Schritt 4.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{1 - (\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} - 1)}$

Schritt 4.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{{\cos (x)}^{2}} - - 1}$

Schritt 4.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + 1}$

Schritt 4.3.3

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{- \frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + 2}$

Schritt 4.3.4

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{- \frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{2 {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}}$

Schritt 4.3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\frac{- 1 + 2 {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}}$

Schritt 4.4

Kombinieren.

$\frac{\sin (x) \cdot 1}{\cos (x) \frac{- 1 + 2 {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}}$

Schritt 4.5

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x) \frac{- 1 + 2 {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}}$

Schritt 4.6

Kombiniere $\cos (x)$ und $\frac{- 1 + 2 {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$ .

$\frac{\sin (x)}{\frac{\cos (x) (- 1 + 2 {\cos (x)}^{2})}{{\cos (x)}^{2}}}$

Schritt 4.7

Vereinfache den Ausdruck $\frac{\cos (x) (- 1 + 2 {\cos (x)}^{2})}{{\cos (x)}^{2}}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.7.1

Faktorisiere $\cos (x)$ aus ${\cos (x)}^{2}$ heraus.

$\frac{\sin (x)}{\frac{\cos (x) (- 1 + 2 {\cos (x)}^{2})}{\cos (x) \cos (x)}}$

Schritt 4.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sin (x)}{\frac{\cos (x) (- 1 + 2 {\cos (x)}^{2})}{\cos (x) \cos (x)}}$

Schritt 4.7.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sin (x)}{\frac{- 1 + 2 {\cos (x)}^{2}}{\cos (x)}}$

Schritt 4.8

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\sin (x) \frac{\cos (x)}{- 1 + 2 {\cos (x)}^{2}}$

Schritt 4.9

Kombiniere $\sin (x)$ und $\frac{\cos (x)}{- 1 + 2 {\cos (x)}^{2}}$ .

$\frac{\sin (x) \cos (x)}{- 1 + 2 {\cos (x)}^{2}}$

Schritt 4.10

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$\frac{\sin (x) \cos (x)}{- 1 (1) + 2 {\cos (x)}^{2}}$

Schritt 4.11

Faktorisiere $- 1$ aus $2 {\cos (x)}^{2}$ heraus.

$\frac{\sin (x) \cos (x)}{- 1 (1) - (- 2 {\cos (x)}^{2})}$

Schritt 4.12

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1) - (- 2 {\cos (x)}^{2})$ heraus.

$\frac{\sin (x) \cos (x)}{- 1 (1 - 2 {\cos (x)}^{2})}$

Schritt 4.13

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{\sin (x) \cos (x)}{1 - 2 \cos^{2} (x)}$

Schritt 5

Schreibe $- 1$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (x) \cos (x)}{1 - 2 \cos^{2} (x)}$

Schritt 6

Kombinieren.

$\frac{- (\sin (x) \cos (x))}{1 (1 - 2 \cos^{2} (x))}$

Schritt 7

Entferne die Klammern.

$\frac{- \sin (x) \cos (x)}{1 (1 - 2 \cos^{2} (x))}$

Schritt 8

Mutltipliziere $1 - 2 {\cos (x)}^{2}$ mit $1$ .

$\frac{- \sin (x) \cos (x)}{1 - 2 \cos^{2} (x)}$

Schritt 9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{\cos (x) \sin (x)}{1 - 2 \cos^{2} (x)}$

Schritt 10

Schreibe $- \frac{\cos (x) \sin (x)}{1 - 2 \cos^{2} (x)}$ als $\frac{\sin (x) \cos (x)}{2 \cos^{2} (x) - 1}$ um.

$\frac{\sin (x) \cos (x)}{2 \cos^{2} (x) - 1}$

Schritt 11

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\frac{\tan (x)}{1 - \tan^{2} (x)} = \frac{\sin (x) \cos (x)}{2 \cos^{2} (x) - 1}$ ist eine Identitätsgleichung