Trigonometrie Beispiele

$y = 10 \sin (\frac{6 π}{4} (x - \frac{π}{2})) + 25$

Schritt 1

Wende die Form $a \sin (b x - c) + d$ an, um die Variablen, die zur Ermittlung von Amplitude, Periode, Phasenverschiebung und vertikaler Verschiebung genutzt werden, zu bestimmen.

$a = 10$

$b = \frac{3 π}{2}$

$c = \frac{3 π^{2}}{4}$

$d = 25$

Schritt 2

Bestimme die Amplitude $| a |$ .

Amplitude: $10$

Schritt 3

Ermittle die Periode mithilfe der Formel $\frac{2 π}{| b |}$ .

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Schritt 3.1

Ermittele die Periode von $10 \sin (\frac{3 π x}{2} - \frac{3 π^{2}}{4})$ .

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Schritt 3.1.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 3.1.2

Ersetze $b$ durch $\frac{3 π}{2}$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| \frac{3 π}{2} |}$

Schritt 3.1.3

$\frac{3 π}{2}$ ist ungefähr $4.71238898$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{2 π}{\frac{3 π}{2}}$

Schritt 3.1.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$2 π \frac{2}{3 π}$

Schritt 3.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 3.1.5.1

Faktorisiere $π$ aus $2 π$ heraus.

$π \cdot 2 \frac{2}{3 π}$

Schritt 3.1.5.2

Faktorisiere $π$ aus $3 π$ heraus.

$π \cdot 2 \frac{2}{π \cdot 3}$

Schritt 3.1.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$π \cdot 2 \frac{2}{π \cdot 3}$

Schritt 3.1.5.4

Forme den Ausdruck um.

$2 (\frac{2}{3})$

Schritt 3.1.6

Kombiniere $2$ und $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{3}$

Schritt 3.1.7

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{4}{3}$

Schritt 3.2

Ermittele die Periode von $25$ .

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Schritt 3.2.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 3.2.2

Ersetze $b$ durch $\frac{3 π}{2}$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| \frac{3 π}{2} |}$

Schritt 3.2.3

$\frac{3 π}{2}$ ist ungefähr $4.71238898$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{2 π}{\frac{3 π}{2}}$

Schritt 3.2.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$2 π \frac{2}{3 π}$

Schritt 3.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 3.2.5.1

Faktorisiere $π$ aus $2 π$ heraus.

$π \cdot 2 \frac{2}{3 π}$

Schritt 3.2.5.2

Faktorisiere $π$ aus $3 π$ heraus.

$π \cdot 2 \frac{2}{π \cdot 3}$

Schritt 3.2.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$π \cdot 2 \frac{2}{π \cdot 3}$

Schritt 3.2.5.4

Forme den Ausdruck um.

$2 (\frac{2}{3})$

Schritt 3.2.6

Kombiniere $2$ und $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{3}$

Schritt 3.2.7

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{4}{3}$

Schritt 3.3

Die Periode der Summe/Differenz trigonometrischer Funktionen ist das Maximum der individuellen Perioden.

$\frac{4}{3}$

Schritt 4

Ermittle die Phasenverschiebung mithilfe der Formel $\frac{c}{b}$ .

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Schritt 4.1

Die Phasenverschiebung der Funktion kann mithilfe von $\frac{c}{b}$ berechnet werden.

Phasenverschiebung: $\frac{c}{b}$

Schritt 4.2

Ersetze die Werte von $c$ und $b$ in der Gleichung für die Phasenverschiebung.

Phasenverschiebung: $\frac{\frac{3 π^{2}}{4}}{\frac{3 π}{2}}$

Schritt 4.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

Phasenverschiebung: $\frac{3 π^{2}}{4} \cdot \frac{2}{3 π}$

Schritt 4.4

Kombinieren.

Phasenverschiebung: $\frac{3 π^{2} \cdot 2}{4 (3 π)}$

Schritt 4.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Phasenverschiebung: $\frac{3 π^{2} \cdot 2}{4 (3 π)}$

Schritt 4.5.2

Forme den Ausdruck um.

Phasenverschiebung: $\frac{π^{2} \cdot 2}{4 (π)}$

Schritt 4.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $π^{2}$ und $π$ .

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Schritt 4.6.1

Faktorisiere $π$ aus $π^{2} \cdot 2$ heraus.

Phasenverschiebung: $\frac{π (π \cdot 2)}{4 (π)}$

Schritt 4.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.6.2.1

Faktorisiere $π$ aus $4 (π)$ heraus.

Phasenverschiebung: $\frac{π (π \cdot 2)}{π \cdot 4}$

Schritt 4.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Phasenverschiebung: $\frac{π (π \cdot 2)}{π \cdot 4}$

Schritt 4.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

Phasenverschiebung: $\frac{π \cdot 2}{4}$

Schritt 4.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 4.7.1

Faktorisiere $2$ aus $π \cdot 2$ heraus.

Phasenverschiebung: $\frac{2 \cdot π}{4}$

Schritt 4.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.7.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

Phasenverschiebung: $\frac{2 \cdot π}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Phasenverschiebung: $\frac{2 \cdot π}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

Phasenverschiebung: $\frac{π}{2}$

Schritt 5

Liste die Eigenschaften der trigonometrischen Funktion auf.

Amplitude: $10$

Periode: $\frac{4}{3}$

Phasenverschiebung: $\frac{π}{2}$ ( $\frac{π}{2}$ nach rechts)

Vertikale Verschiebung: $25$

Schritt 6