Trigonometrie Beispiele

$\tan^{2} (x) = \sec (x) - 1$

Schritt 1

Bringe alle Ausdrücke auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $\sec (x)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\tan^{2} (x) - \sec (x) = - 1$

Schritt 1.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\tan^{2} (x) - \sec (x) + 1 = 0$

Schritt 2

Vereinfache die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Bewege $1$ .

$\tan^{2} (x) + 1 - \sec (x) = 0$

Schritt 2.2

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\sec^{2} (x) - \sec (x) = 0$

Schritt 3

Faktorisiere $\sec (x)$ aus $\sec^{2} (x) - \sec (x)$ heraus.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $\sec (x)$ aus $\sec^{2} (x)$ heraus.

$\sec (x) \sec (x) - \sec (x) = 0$

Schritt 3.2

Faktorisiere $\sec (x)$ aus $- \sec (x)$ heraus.

$\sec (x) \sec (x) + \sec (x) \cdot - 1 = 0$

Schritt 3.3

Faktorisiere $\sec (x)$ aus $\sec (x) \sec (x) + \sec (x) \cdot - 1$ heraus.

$\sec (x) (\sec (x) - 1) = 0$

Schritt 4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$\sec (x) = 0$

$\sec (x) - 1 = 0$

Schritt 5

Setze $\sec (x)$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $\sec (x)$ gleich $0$ .

$\sec (x) = 0$

Schritt 5.2

Der Wertebereich des Sekans ist $y \leq - 1$ und $y \geq 1$ . Da $0$ nicht in diesen Bereich fällt, gibt es keine Lösung.

Keine Lösung

Schritt 6

Setze $\sec (x) - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $\sec (x) - 1$ gleich $0$ .

$\sec (x) - 1 = 0$

Schritt 6.2

Löse $\sec (x) - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\sec (x) = 1$

Schritt 6.2.2

Bilde den inversen Sekans von beiden Seiten der Gleichung, um $x$ aus dem Sekans zu ziehen.

$x = arcsec (1)$

Schritt 6.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.3.1

Der genau Wert von $arcsec (1)$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 6.2.4

DIe Sekans-Funktion ist im ersten und vierten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$x = 2 π - 0$

Schritt 6.2.5

Subtrahiere $0$ von $2 π$ .

$x = 2 π$

Schritt 6.2.6

Ermittele die Periode von $\sec (x)$ .

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Schritt 6.2.6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 6.2.6.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 6.2.6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 6.2.6.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 6.2.7

Die Periode der Funktion $\sec (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $\sec (x) (\sec (x) - 1) = 0$ wahr machen.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 8

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$