Trigonometrie Beispiele

$\sin^{2} (θ) \sec^{2} (θ) = \sec^{2} (θ) - 1$

Schritt 1

Beginne auf der linken Seite.

$\sin^{2} (θ) \sec^{2} (θ)$

Schritt 2

Wende den umgekehrten trigonometrischen Pythagoras an.

$(1 - \cos^{2} (θ)) \sec^{2} (θ)$

Schritt 3

Wandle in Sinus und Kosinus um.

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Schritt 3.1

Wende die Kehrwertfunktion auf $\sec (θ)$ an.

$(1 - \cos^{2} (θ)) {(\frac{1}{\cos (θ)})}^{2}$

Schritt 3.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\cos (θ)}$ an.

$(1 - \cos^{2} (θ)) \frac{1^{2}}{\cos^{2} (θ)}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$(1 - {\cos (θ)}^{2}) \frac{1}{{\cos (θ)}^{2}}$

Schritt 4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$1 \frac{1}{{\cos (θ)}^{2}} - {\cos (θ)}^{2} \frac{1}{{\cos (θ)}^{2}}$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $\frac{1}{{\cos (θ)}^{2}}$ mit $1$ .

$\frac{1}{{\cos (θ)}^{2}} - {\cos (θ)}^{2} \frac{1}{{\cos (θ)}^{2}}$

Schritt 4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${\cos (θ)}^{2}$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (θ)} - 1$

Schritt 5

Stelle die Terme um.

$- 1 + \frac{1}{\cos^{2} (θ)}$

Schritt 6

Schreibe $- 1 + \frac{1}{\cos^{2} (θ)}$ als $\sec^{2} (θ) - 1$ um.

$\sec^{2} (θ) - 1$

Schritt 7

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\sin^{2} (θ) \sec^{2} (θ) = \sec^{2} (θ) - 1$ ist eine Identitätsgleichung