Trigonometrie Beispiele

$(- \frac{5}{9}, \frac{2 \sqrt{14}}{9})$

Schritt 1

Um den $\csc (θ)$ zwischen der x-Achse und der Geraden zwischen den Punkten $(0, 0)$ und $(- \frac{5}{9}, \frac{2 \sqrt{14}}{9})$ zu ermitteln, zeichne das Dreieck zwischen den drei Punkten $(0, 0)$ , $(- \frac{5}{9}, 0)$ und $(- \frac{5}{9}, \frac{2 \sqrt{14}}{9})$ .

Gegenüberliegend : $\frac{2 \sqrt{14}}{9}$

Ankathete : $- \frac{5}{9}$

Schritt 2

Berechne die Hypotenuse unter Anwendung des Satzes von Pythagoras $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

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Schritt 2.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 2.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{5}{9}$ an.

$\sqrt{{(- 1)}^{2} {(\frac{5}{9})}^{2} + {(\frac{2 \sqrt{14}}{9})}^{2}}$

Schritt 2.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{5}{9}$ an.

$\sqrt{{(- 1)}^{2} \frac{5^{2}}{9^{2}} + {(\frac{2 \sqrt{14}}{9})}^{2}}$

Schritt 2.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$\sqrt{1 \frac{5^{2}}{9^{2}} + {(\frac{2 \sqrt{14}}{9})}^{2}}$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $\frac{5^{2}}{9^{2}}$ mit $1$ .

$\sqrt{\frac{5^{2}}{9^{2}} + {(\frac{2 \sqrt{14}}{9})}^{2}}$

Schritt 2.4

Potenziere $5$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{25}{9^{2}} + {(\frac{2 \sqrt{14}}{9})}^{2}}$

Schritt 2.5

Potenziere $9$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{25}{81} + {(\frac{2 \sqrt{14}}{9})}^{2}}$

Schritt 2.6

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 2.6.1

Wende die Produktregel auf $\frac{2 \sqrt{14}}{9}$ an.

$\sqrt{\frac{25}{81} + \frac{{(2 \sqrt{14})}^{2}}{9^{2}}}$

Schritt 2.6.2

Wende die Produktregel auf $2 \sqrt{14}$ an.

$\sqrt{\frac{25}{81} + \frac{2^{2} {\sqrt{14}}^{2}}{9^{2}}}$

Schritt 2.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.7.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{25}{81} + \frac{4 {\sqrt{14}}^{2}}{9^{2}}}$

Schritt 2.7.2

Schreibe ${\sqrt{14}}^{2}$ als $14$ um.

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Schritt 2.7.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{14}$ als $14^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sqrt{\frac{25}{81} + \frac{4 {(14^{\frac{1}{2}})}^{2}}{9^{2}}}$

Schritt 2.7.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{25}{81} + \frac{4 \cdot 14^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{9^{2}}}$

Schritt 2.7.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sqrt{\frac{25}{81} + \frac{4 \cdot 14^{\frac{2}{2}}}{9^{2}}}$

Schritt 2.7.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.7.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{\frac{25}{81} + \frac{4 \cdot 14^{\frac{2}{2}}}{9^{2}}}$

Schritt 2.7.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{\frac{25}{81} + \frac{4 \cdot 14^{1}}{9^{2}}}$

Schritt 2.7.2.5

Berechne den Exponenten.

$\sqrt{\frac{25}{81} + \frac{4 \cdot 14}{9^{2}}}$

Schritt 2.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.8.1

Potenziere $9$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{25}{81} + \frac{4 \cdot 14}{81}}$

Schritt 2.8.2

Mutltipliziere $4$ mit $14$ .

$\sqrt{\frac{25}{81} + \frac{56}{81}}$

Schritt 2.8.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{25 + 56}{81}}$

Schritt 2.8.4

Addiere $25$ und $56$ .

$\sqrt{\frac{81}{81}}$

Schritt 2.8.5

Dividiere $81$ durch $81$ .

$\sqrt{1}$

Schritt 2.8.6

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$1$

Schritt 3

Aus $\csc (θ) = \frac{Hypotenuse}{Gegenüberliegend}$ folgt $\csc (θ) = \frac{1}{\frac{2 \sqrt{14}}{9}}$ .

$\frac{1}{\frac{2 \sqrt{14}}{9}}$

Schritt 4

Vereinfache $\csc (θ)$ .

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Schritt 4.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\csc (θ) = 1 (\frac{9}{2 \sqrt{14}})$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\frac{9}{2 \sqrt{14}}$ mit $1$ .

$\csc (θ) = \frac{9}{2 \sqrt{14}}$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $\frac{9}{2 \sqrt{14}}$ mit $\frac{\sqrt{14}}{\sqrt{14}}$ .

$\csc (θ) = \frac{9}{2 \sqrt{14}} \cdot \frac{\sqrt{14}}{\sqrt{14}}$

Schritt 4.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.4.1

Mutltipliziere $\frac{9}{2 \sqrt{14}}$ mit $\frac{\sqrt{14}}{\sqrt{14}}$ .

$\csc (θ) = \frac{9 \sqrt{14}}{2 \sqrt{14} \sqrt{14}}$

Schritt 4.4.2

Bewege $\sqrt{14}$ .

$\csc (θ) = \frac{9 \sqrt{14}}{2 (\sqrt{14} \sqrt{14})}$

Schritt 4.4.3

Potenziere $\sqrt{14}$ mit $1$ .

$\csc (θ) = \frac{9 \sqrt{14}}{2 (\sqrt{14} \sqrt{14})}$

Schritt 4.4.4

Potenziere $\sqrt{14}$ mit $1$ .

$\csc (θ) = \frac{9 \sqrt{14}}{2 (\sqrt{14} \sqrt{14})}$

Schritt 4.4.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\csc (θ) = \frac{9 \sqrt{14}}{2 {\sqrt{14}}^{1 + 1}}$

Schritt 4.4.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\csc (θ) = \frac{9 \sqrt{14}}{2 {\sqrt{14}}^{2}}$

Schritt 4.4.7

Schreibe ${\sqrt{14}}^{2}$ als $14$ um.

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Schritt 4.4.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{14}$ als $14^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\csc (θ) = \frac{9 \sqrt{14}}{2 {(14^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.4.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\csc (θ) = \frac{9 \sqrt{14}}{2 \cdot 14^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 4.4.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\csc (θ) = \frac{9 \sqrt{14}}{2 \cdot 14^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.4.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.4.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\csc (θ) = \frac{9 \sqrt{14}}{2 \cdot 14^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.4.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\csc (θ) = \frac{9 \sqrt{14}}{2 \cdot 14}$

Schritt 4.4.7.5

Berechne den Exponenten.

$\csc (θ) = \frac{9 \sqrt{14}}{2 \cdot 14}$

Schritt 4.5

Mutltipliziere $2$ mit $14$ .

$\csc (θ) = \frac{9 \sqrt{14}}{28}$

Schritt 5

Approximiere das Ergebnis.

$\csc (θ) = \frac{9 \sqrt{14}}{28} \approx 1.20267558$