Trigonometrie Beispiele

$16 \sec^{2} (θ) - 25 = 0$

Schritt 1

Addiere $25$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$16 \sec^{2} (θ) = 25$

Schritt 2

Teile jeden Ausdruck in $16 \sec^{2} (θ) = 25$ durch $16$ und vereinfache.

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Schritt 2.1

Teile jeden Ausdruck in $16 \sec^{2} (θ) = 25$ durch $16$ .

$\frac{16 \sec^{2} (θ)}{16} = \frac{25}{16}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $16$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{16 \sec^{2} (θ)}{16} = \frac{25}{16}$

Schritt 2.2.1.2

Dividiere $\sec^{2} (θ)$ durch $1$ .

$\sec^{2} (θ) = \frac{25}{16}$

Schritt 3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$\sec (θ) = \pm \sqrt{\frac{25}{16}}$

Schritt 4

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{25}{16}}$ .

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Schritt 4.1

Schreibe $\sqrt{\frac{25}{16}}$ als $\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{16}}$ um.

$\sec (θ) = \pm \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{16}}$

Schritt 4.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$\sec (θ) = \pm \frac{\sqrt{5^{2}}}{\sqrt{16}}$

Schritt 4.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\sec (θ) = \pm \frac{5}{\sqrt{16}}$

Schritt 4.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.3.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$\sec (θ) = \pm \frac{5}{\sqrt{4^{2}}}$

Schritt 4.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\sec (θ) = \pm \frac{5}{4}$

Schritt 5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$\sec (θ) = \frac{5}{4}$

Schritt 5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$\sec (θ) = - \frac{5}{4}$

Schritt 5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$\sec (θ) = \frac{5}{4}, - \frac{5}{4}$

Schritt 6

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $θ$ aufzulösen.

$\sec (θ) = \frac{5}{4}$

$\sec (θ) = - \frac{5}{4}$

Schritt 7

Löse in $\sec (θ) = \frac{5}{4}$ nach $θ$ auf.

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Schritt 7.1

Bilde den inversen Sekans von beiden Seiten der Gleichung, um $θ$ aus dem Sekans zu ziehen.

$θ = arcsec (\frac{5}{4})$

Schritt 7.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.2.1

Berechne $arcsec (\frac{5}{4})$ .

$θ = 36.86989764$

Schritt 7.3

DIe Sekans-Funktion ist im ersten und vierten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $360$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$θ = 360 - 36.86989764$

Schritt 7.4

Subtrahiere $36.86989764$ von $360$ .

$θ = 323.13010235$

Schritt 7.5

Ermittele die Periode von $\sec (θ)$ .

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Schritt 7.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{360}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{360}{| b |}$

Schritt 7.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{360}{| 1 |}$

Schritt 7.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{360}{1}$

Schritt 7.5.4

Dividiere $360$ durch $1$ .

$360$

Schritt 7.6

Die Periode der $\sec (θ)$ -Funktion ist $360$ , sodass sich die Werte alle $360$ Grad in beide Richtungen wiederholen werden.

$θ = 36.86989764 + 360 n, 323.13010235 + 360 n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 8

Löse in $\sec (θ) = - \frac{5}{4}$ nach $θ$ auf.

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Schritt 8.1

Bilde den inversen Sekans von beiden Seiten der Gleichung, um $θ$ aus dem Sekans zu ziehen.

$θ = arcsec (- \frac{5}{4})$

Schritt 8.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.2.1

Berechne $arcsec (- \frac{5}{4})$ .

$θ = 143.13010235$

Schritt 8.3

Die Sekans-Funktion ist im zweiten und dritten Quadranten negativ. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $360$ , um die Lösung im dritten Quadraten zu ermitteln.

$θ = 360 - 143.13010235$

Schritt 8.4

Subtrahiere $143.13010235$ von $360$ .

$θ = 216.86989764$

Schritt 8.5

Ermittele die Periode von $\sec (θ)$ .

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Schritt 8.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{360}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{360}{| b |}$

Schritt 8.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{360}{| 1 |}$

Schritt 8.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{360}{1}$

Schritt 8.5.4

Dividiere $360$ durch $1$ .

$360$

Schritt 8.6

Die Periode der $\sec (θ)$ -Funktion ist $360$ , sodass sich die Werte alle $360$ Grad in beide Richtungen wiederholen werden.

$θ = 143.13010235 + 360 n, 216.86989764 + 360 n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 9

Liste alle Lösungen auf.

$θ = 36.86989764 + 360 n, 323.13010235 + 360 n, 143.13010235 + 360 n, 216.86989764 + 360 n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 10

Fasse die Lösungen zusammen.

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Schritt 10.1

Führe $36.86989764 + 360 n$ und $216.86989764 + 360 n$ zu $36.86989764 + 180 n$ zusammen.

$θ = 36.86989764 + 180 n, 323.13010235 + 360 n, 143.13010235 + 360 n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 10.2

Führe $323.13010235 + 360 n$ und $143.13010235 + 360 n$ zu $143.13010235 + 180 n$ zusammen.

$θ = 36.86989764 + 180 n, 143.13010235 + 180 n$ , für jede Ganzzahl $n$