Trigonometrie Beispiele

$\tan^{2} (θ) + 6 \tan (θ) + 8 = 0$

Schritt 1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Es sei $u = \tan (θ)$ . Ersetze $u$ für alle $\tan (θ)$ .

$u^{2} + 6 u + 8 = 0$

Schritt 1.2

Faktorisiere $u^{2} + 6 u + 8$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $8$ und deren Summe $6$ ist.

$2, 4$

Schritt 1.2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(u + 2) (u + 4) = 0$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $\tan (θ)$ .

$(\tan (θ) + 2) (\tan (θ) + 4) = 0$

Schritt 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$\tan (θ) + 2 = 0$

$\tan (θ) + 4 = 0$

Schritt 3

Setze $\tan (θ) + 2$ gleich $0$ und löse nach $θ$ auf.

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Schritt 3.1

Setze $\tan (θ) + 2$ gleich $0$ .

$\tan (θ) + 2 = 0$

Schritt 3.2

Löse $\tan (θ) + 2 = 0$ nach $θ$ auf.

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Schritt 3.2.1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\tan (θ) = - 2$

Schritt 3.2.2

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $θ$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$θ = \arctan (- 2)$

Schritt 3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.3.1

Berechne $\arctan (- 2)$ .

$θ = - 63.43494882$

Schritt 3.2.4

Die Tangensfunktion ist negativ im zweiten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $180$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$θ = - 63.43494882 - 180$

Schritt 3.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 3.2.5.1

Addiere $360 °$ zu $- 63.43494882 - 180 °$ .

$θ = - 63.43494882 - 180 ° + 360 °$

Schritt 3.2.5.2

Der resultierende Winkel von $116.56505117 °$ ist positiv und gleich $- 63.43494882 - 180$ .

$θ = 116.56505117 °$

Schritt 3.2.6

Ermittele die Periode von $\tan (θ)$ .

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Schritt 3.2.6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{180}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{180}{| b |}$

Schritt 3.2.6.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{180}{| 1 |}$

Schritt 3.2.6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{180}{1}$

Schritt 3.2.6.4

Dividiere $180$ durch $1$ .

$180$

Schritt 3.2.7

Addiere $180$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 3.2.7.1

Addiere $180$ zu $- 63.43494882$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- 63.43494882 + 180$

Schritt 3.2.7.2

Subtrahiere $63.43494882$ von $180$ .

$116.56505117$

Schritt 3.2.7.3

Liste die neuen Winkel auf.

$θ = 116.56505117$

Schritt 3.2.8

Die Periode der $\tan (θ)$ -Funktion ist $180$ , sodass sich die Werte alle $180$ Grad in beide Richtungen wiederholen werden.

$θ = 116.56505117 + 180 n, 116.56505117 + 180 n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 4

Setze $\tan (θ) + 4$ gleich $0$ und löse nach $θ$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $\tan (θ) + 4$ gleich $0$ .

$\tan (θ) + 4 = 0$

Schritt 4.2

Löse $\tan (θ) + 4 = 0$ nach $θ$ auf.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\tan (θ) = - 4$

Schritt 4.2.2

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $θ$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$θ = \arctan (- 4)$

Schritt 4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.3.1

Berechne $\arctan (- 4)$ .

$θ = - 75.96375653$

Schritt 4.2.4

Die Tangensfunktion ist negativ im zweiten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $180$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$θ = - 75.96375653 - 180$

Schritt 4.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 4.2.5.1

Addiere $360 °$ zu $- 75.96375653 - 180 °$ .

$θ = - 75.96375653 - 180 ° + 360 °$

Schritt 4.2.5.2

Der resultierende Winkel von $104.03624346 °$ ist positiv und gleich $- 75.96375653 - 180$ .

$θ = 104.03624346 °$

Schritt 4.2.6

Ermittele die Periode von $\tan (θ)$ .

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Schritt 4.2.6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{180}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{180}{| b |}$

Schritt 4.2.6.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{180}{| 1 |}$

Schritt 4.2.6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{180}{1}$

Schritt 4.2.6.4

Dividiere $180$ durch $1$ .

$180$

Schritt 4.2.7

Addiere $180$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 4.2.7.1

Addiere $180$ zu $- 75.96375653$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- 75.96375653 + 180$

Schritt 4.2.7.2

Subtrahiere $75.96375653$ von $180$ .

$104.03624346$

Schritt 4.2.7.3

Liste die neuen Winkel auf.

$θ = 104.03624346$

Schritt 4.2.8

Die Periode der $\tan (θ)$ -Funktion ist $180$ , sodass sich die Werte alle $180$ Grad in beide Richtungen wiederholen werden.

$θ = 104.03624346 + 180 n, 104.03624346 + 180 n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(\tan (θ) + 2) (\tan (θ) + 4) = 0$ wahr machen.

$θ = 116.56505117 + 180 n, 104.03624346 + 180 n, 104.03624346 + 180 n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 6

Führe $104.03624346 + 180 n$ und $104.03624346 + 180 n$ zu $104.03624346 + 180 n$ zusammen.

$θ = 116.56505117 + 180 n, 104.03624346 + 180 n$ , für jede Ganzzahl $n$