Trigonometrie Beispiele

$\sec (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Schritt 1

Benutze die Definition des Sekans, um die bekannten Seiten des rechtwinkligen Dreiecks im Einheitskreis zu ermitteln. Der Quadrant bestimmt das Vorzeichen jedes Wertes.

$\sec (θ) = \frac{Hypotenuse}{Ankathete}$

Schritt 2

Berechne die Gegenkathete des Dreiecks im Einheitskreis. Da die Ankathete und die Hypotenuse bekannt sind, kannst du den Satz des Pythagoras anwenden, um die verbleibende Seite zu berechnen.

$Gegenüberliegend = - \sqrt{{Hypotenuse}^{2} - {Ankathete}^{2}}$

Schritt 3

Ersetze die bekannten Werte in der Gleichung.

$Gegenüberliegend = - \sqrt{{(2 \sqrt{3})}^{2} - {(3)}^{2}}$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck unter dem Wurzelzeichen.

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Schritt 4.1

Kehre das Vorzeichen von $\sqrt{{(2 \sqrt{3})}^{2} - {(3)}^{2}}$ um.

Gegenkathete $= - \sqrt{{(2 \sqrt{3})}^{2} - {(3)}^{2}}$

Schritt 4.2

Wende die Produktregel auf $2 \sqrt{3}$ an.

Gegenkathete $= - \sqrt{2^{2} {\sqrt{3}}^{2} - {(3)}^{2}}$

Schritt 4.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

Gegenkathete $= - \sqrt{4 {\sqrt{3}}^{2} - {(3)}^{2}}$

Schritt 4.4

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 4.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

Gegenkathete $= - \sqrt{4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - {(3)}^{2}}$

Schritt 4.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

Gegenkathete $= - \sqrt{4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {(3)}^{2}}$

Schritt 4.4.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

Gegenkathete $= - \sqrt{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - {(3)}^{2}}$

Schritt 4.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Gegenkathete $= - \sqrt{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - {(3)}^{2}}$

Schritt 4.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

Gegenkathete $= - \sqrt{4 \cdot 3 - {(3)}^{2}}$

Schritt 4.4.5

Berechne den Exponenten.

Gegenkathete $= - \sqrt{4 \cdot 3 - {(3)}^{2}}$

Schritt 4.5

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

Gegenkathete $= - \sqrt{12 - {(3)}^{2}}$

Schritt 4.6

Potenziere $3$ mit $2$ .

Gegenkathete $= - \sqrt{12 - 1 \cdot 9}$

Schritt 4.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

Gegenkathete $= - \sqrt{12 - 9}$

Schritt 4.8

Subtrahiere $9$ von $12$ .

Gegenkathete $= - \sqrt{3}$

Schritt 5

Ermittle den Wert des Sinus.

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Schritt 5.1

Bestimme den Wert von $\sin (θ)$ mithilfe der Definition des Sinus.

$\sin (θ) = \frac{opp}{hyp}$

Schritt 5.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\sin (θ) = \frac{- \sqrt{3}}{2 \sqrt{3}}$

Schritt 5.3

Vereinfache den Wert von $\sin (θ)$ .

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Schritt 5.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sqrt{3}$ .

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Schritt 5.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin (θ) = \frac{- \sqrt{3}}{2 \sqrt{3}}$

Schritt 5.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\sin (θ) = \frac{- 1}{2}$

Schritt 5.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\sin (θ) = - \frac{1}{2}$

Schritt 6

Berechne den Wert des Kosinus.

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Schritt 6.1

Bestimme den Wert von $\cos (θ)$ mithilfe der Definition des Kosinus.

$\cos (θ) = \frac{adj}{hyp}$

Schritt 6.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\cos (θ) = \frac{3}{2 \sqrt{3}}$

Schritt 6.3

Vereinfache den Wert von $\cos (θ)$ .

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Schritt 6.3.1

Mutltipliziere $\frac{3}{2 \sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\cos (θ) = \frac{3}{2 \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Schritt 6.3.2

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{3}{2 \sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 6.3.2.2

Bewege $\sqrt{3}$ .

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 (\sqrt{3} \sqrt{3})}$

Schritt 6.3.2.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 (\sqrt{3} \sqrt{3})}$

Schritt 6.3.2.4

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 (\sqrt{3} \sqrt{3})}$

Schritt 6.3.2.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 {\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Schritt 6.3.2.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 {\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 6.3.2.7

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 6.3.2.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 6.3.2.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 6.3.2.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 6.3.2.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.3.2.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 6.3.2.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

Schritt 6.3.2.7.5

Berechne den Exponenten.

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

Schritt 6.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

Schritt 6.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 7

Bestimme den Wert des Tangens.

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Schritt 7.1

Benutze die Definition des Tangens, um den Wert von $\tan (θ)$ zu ermitteln.

$\tan (θ) = \frac{opp}{adj}$

Schritt 7.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\tan (θ) = \frac{- \sqrt{3}}{3}$

Schritt 7.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Schritt 8

Berechne den Wert des Kotangens.

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Schritt 8.1

Bestimme den Wert von $\cot (θ)$ mithilfe der Definition des Kotangens.

$\cot (θ) = \frac{adj}{opp}$

Schritt 8.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\cot (θ) = \frac{3}{- \sqrt{3}}$

Schritt 8.3

Vereinfache den Wert von $\cot (θ)$ .

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Schritt 8.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\cot (θ) = - \frac{3}{\sqrt{3}}$

Schritt 8.3.2

Mutltipliziere $\frac{3}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\cot (θ) = - (\frac{3}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Schritt 8.3.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{3}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\cot (θ) = - \frac{3 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 8.3.3.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\cot (θ) = - \frac{3 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 8.3.3.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\cot (θ) = - \frac{3 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 8.3.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\cot (θ) = - \frac{3 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Schritt 8.3.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\cot (θ) = - \frac{3 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 8.3.3.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 8.3.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\cot (θ) = - \frac{3 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 8.3.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cot (θ) = - \frac{3 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 8.3.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\cot (θ) = - \frac{3 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 8.3.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.3.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cot (θ) = - \frac{3 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 8.3.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\cot (θ) = - \frac{3 \sqrt{3}}{3}$

Schritt 8.3.3.6.5

Berechne den Exponenten.

$\cot (θ) = - \frac{3 \sqrt{3}}{3}$

Schritt 8.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 8.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cot (θ) = - \frac{3 \sqrt{3}}{3}$

Schritt 8.3.4.2

Dividiere $\sqrt{3}$ durch $1$ .

$\cot (θ) = - \sqrt{3}$

Schritt 9

Berechne den Wert des Kosekans.

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Schritt 9.1

Bestimme den Wert von $\csc (θ)$ mithilfe der Definition des Kosekans.

$\csc (θ) = \frac{hyp}{opp}$

Schritt 9.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\csc (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{- \sqrt{3}}$

Schritt 9.3

Vereinfache den Wert von $\csc (θ)$ .

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Schritt 9.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sqrt{3}$ .

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Schritt 9.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\csc (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{- \sqrt{3}}$

Schritt 9.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\csc (θ) = \frac{2}{- 1}$

Schritt 9.3.1.3

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{2}{- 1}$ .

$\csc (θ) = - 1 \cdot 2$

Schritt 9.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\csc (θ) = - 2$

Schritt 10

Das ist die Lösung zu jedem trigonometrischen Wert.

$\sin (θ) = - \frac{1}{2}$

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

$\cot (θ) = - \sqrt{3}$

$\sec (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

$\csc (θ) = - 2$