Trigonometrie Beispiele

$\frac{\sin (t)}{\sec (t) - \cos (t)}$

Schritt 1

Schreibe $\sec (t)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{\sin (t)}{\frac{1}{\cos (t)} - \cos (t)}$

Schritt 2

Wandle von $\frac{1}{\cos (t)}$ nach $\sec (t)$ um.

$\frac{\sin (t)}{\sec (t) - \cos (t)}$

Schritt 3

Das ist die trigonometrische Form einer komplexen Zahl, wobei $| z |$ der Betrag und $θ$ der Winkel, der in der komplexen Ebene entsteht, ist.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Schritt 4

Der Betrag einer komplexen Zahl ist der Abstand vom Ursprung in der komplexen Zahlenebene.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , wobei $z = a + b i$

Schritt 5

Ersetze die tatsächlichen Werte von $a = \frac{\sin (t)}{\sec (t) - \cos (t)}$ und $b = 0$ .

$| z | = \sqrt{0^{2} + {(\frac{\sin (t)}{\sec (t) - \cos (t)})}^{2}}$

Schritt 6

Ermittle $| z |$ .

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Schritt 6.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$| z | = \sqrt{0 + {(\frac{\sin (t)}{\sec (t) - \cos (t)})}^{2}}$

Schritt 6.2

Schreibe $\sec (t)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$| z | = \sqrt{0 + {(\frac{\sin (t)}{\frac{1}{\cos (t)} - \cos (t)})}^{2}}$

Schritt 6.3

Wende die Produktregel auf $\frac{\sin (t)}{\frac{1}{\cos (t)} - \cos (t)}$ an.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{\sin^{2} (t)}{{(\frac{1}{\cos (t)} - \cos (t))}^{2}}}$

Schritt 6.4

Addiere $0$ und $\frac{\sin^{2} (t)}{{(\frac{1}{\cos (t)} - \cos (t))}^{2}}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{\sin^{2} (t)}{{(\frac{1}{\cos (t)} - \cos (t))}^{2}}}$

Schritt 6.5

Schreibe $\frac{\sin^{2} (t)}{{(\frac{1}{\cos (t)} - \cos (t))}^{2}}$ als ${(\frac{\sin (t)}{\frac{1}{\cos (t)} - \cos (t)})}^{2}$ um.

$| z | = \sqrt{{(\frac{\sin (t)}{\frac{1}{\cos (t)} - \cos (t)})}^{2}}$

Schritt 6.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$| z | = \frac{\sin (t)}{\frac{1}{\cos (t)} - \cos (t)}$

Schritt 6.7

Wandle von $\frac{1}{\cos (t)}$ nach $\sec (t)$ um.

$| z | = \frac{\sin (t)}{\sec (t) - \cos (t)}$

Schritt 7

Der Winkel des Punkts in der komplexen Zahlenebene ist der inverse Tangens des Imaginärteils geteilt durch den Realteil.

$θ = \arctan (\frac{0}{\frac{\sin (t)}{\sec (t) - \cos (t)}})$

Schritt 8

Substituiere die Werte von $θ = \arctan (\frac{0}{\frac{\sin (t)}{\sec (t) - \cos (t)}})$ und $| z | = \frac{\sin (t)}{\sec (t) - \cos (t)}$ .

$\frac{\sin (t)}{(\sec (t) - \cos (t)) (\cos (\arctan (\frac{0}{\frac{\sin (t)}{\sec (t) - \cos (t)}})) + i \sin (\arctan (\frac{0}{\frac{\sin (t)}{\sec (t) - \cos (t)}})))}$