Trigonometrie Beispiele

$\frac{\csc^{2} (θ)}{\csc^{2} (θ) - 1} = \sec^{2} (θ)$

Schritt 1

Beginne auf der linken Seite.

$\frac{\csc^{2} (θ)}{\csc^{2} (θ) - 1}$

Schritt 2

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{\csc^{2} (θ)}{\cot^{2} (θ)}$

Schritt 3

Wandle in Sinus und Kosinus um.

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Schritt 3.1

Wende die Kehrwertfunktion auf $\csc (θ)$ an.

$\frac{{(\frac{1}{\sin (θ)})}^{2}}{\cot^{2} (θ)}$

Schritt 3.2

Schreibe $\cot (θ)$ mit Sinus und Kosinus mithilfe der Quotienten-Identitätsgleichung.

$\frac{{(\frac{1}{\sin (θ)})}^{2}}{{(\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})}^{2}}$

Schritt 3.3

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\sin (θ)}$ an.

$\frac{\frac{1^{2}}{\sin^{2} (θ)}}{{(\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})}^{2}}$

Schritt 3.4

Wende die Produktregel auf $\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ an.

$\frac{\frac{1^{2}}{\sin^{2} (θ)}}{\frac{\cos^{2} (θ)}{\sin^{2} (θ)}}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{1^{2}}{{\sin (θ)}^{2}} \cdot \frac{{\sin (θ)}^{2}}{{\cos (θ)}^{2}}$

Schritt 4.2

Kombinieren.

$\frac{1^{2} {\sin (θ)}^{2}}{{\sin (θ)}^{2} {\cos (θ)}^{2}}$

Schritt 4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${\sin (θ)}^{2}$ .

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Schritt 4.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1^{2} {\sin (θ)}^{2}}{{\sin (θ)}^{2} {\cos (θ)}^{2}}$

Schritt 4.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1^{2}}{{\cos (θ)}^{2}}$

Schritt 4.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{\cos^{2} (θ)}$

Schritt 5

Schreibe $\frac{1}{\cos^{2} (θ)}$ als $\sec^{2} (θ)$ um.

$\sec^{2} (θ)$

Schritt 6

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\frac{\csc^{2} (θ)}{\csc^{2} (θ) - 1} = \sec^{2} (θ)$ ist eine Identitätsgleichung