Trigonometrie Beispiele

$\tan (θ) = - \frac{1}{3}$ , $\sin (θ) > 0$

Schritt 1

The sine function is positive in the first and second quadrants. The tangent function is negative in the second and fourth quadrants. The set of solutions for $θ$ are limited to the second quadrant since that is the only quadrant found in both sets.

Die Lösung liegt im zweiten Quadranten.

Schritt 2

Benutze die Definition des Tangens, um die bekannten Seiten des rechtwinkligen Dreiecks im Einheitskreis zu ermitteln. Der Quadrant bestimmt das Vorzeichen jedes Wertes.

$\tan (θ) = \frac{gegenüber}{Ankathete}$

Schritt 3

Berechne die Hypotenuse des Dreiecks im Einheitskreis. Da die Gegenkathete und die Ankathete bekannt sind, kannst du den Satz des Pythagoras anwenden, um die verbleibende Seite zu berechnen.

$Hypotenuse = \sqrt{{gegenüber}^{2} + {Ankathete}^{2}}$

Schritt 4

Ersetze die bekannten Werte in der Gleichung.

$Hypotenuse = \sqrt{{(1)}^{2} + {(- 3)}^{2}}$

Schritt 5

Vereinfache den Ausdruck unter dem Wurzelzeichen.

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Schritt 5.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

Hypothenuse $= \sqrt{1 + {(- 3)}^{2}}$

Schritt 5.2

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

Hypothenuse $= \sqrt{1 + 9}$

Schritt 5.3

Addiere $1$ und $9$ .

Hypothenuse $= \sqrt{10}$

Schritt 6

Ermittle den Wert des Sinus.

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Schritt 6.1

Bestimme den Wert von $\sin (θ)$ mithilfe der Definition des Sinus.

$\sin (θ) = \frac{opp}{hyp}$

Schritt 6.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\sin (θ) = \frac{1}{\sqrt{10}}$

Schritt 6.3

Vereinfache den Wert von $\sin (θ)$ .

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Schritt 6.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{10}}$ mit $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$\sin (θ) = \frac{1}{\sqrt{10}} \cdot \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$

Schritt 6.3.2

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{10}}$ mit $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10} \sqrt{10}}$

Schritt 6.3.2.2

Potenziere $\sqrt{10}$ mit $1$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10} \sqrt{10}}$

Schritt 6.3.2.3

Potenziere $\sqrt{10}$ mit $1$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10} \sqrt{10}}$

Schritt 6.3.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1 + 1}}$

Schritt 6.3.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{2}}$

Schritt 6.3.2.6

Schreibe ${\sqrt{10}}^{2}$ als $10$ um.

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Schritt 6.3.2.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{10}$ als $10^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{10}}{{(10^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 6.3.2.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{10}}{10^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 6.3.2.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 6.3.2.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.3.2.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 6.3.2.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{10}}{10}$

Schritt 6.3.2.6.5

Berechne den Exponenten.

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{10}}{10}$

Schritt 7

Berechne den Wert des Kosinus.

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Schritt 7.1

Bestimme den Wert von $\cos (θ)$ mithilfe der Definition des Kosinus.

$\cos (θ) = \frac{adj}{hyp}$

Schritt 7.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\cos (θ) = \frac{- 3}{\sqrt{10}}$

Schritt 7.3

Vereinfache den Wert von $\cos (θ)$ .

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Schritt 7.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\cos (θ) = - \frac{3}{\sqrt{10}}$

Schritt 7.3.2

Mutltipliziere $\frac{3}{\sqrt{10}}$ mit $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$\cos (θ) = - (\frac{3}{\sqrt{10}} \cdot \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}})$

Schritt 7.3.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{3}{\sqrt{10}}$ mit $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$\cos (θ) = - \frac{3 \sqrt{10}}{\sqrt{10} \sqrt{10}}$

Schritt 7.3.3.2

Potenziere $\sqrt{10}$ mit $1$ .

$\cos (θ) = - \frac{3 \sqrt{10}}{\sqrt{10} \sqrt{10}}$

Schritt 7.3.3.3

Potenziere $\sqrt{10}$ mit $1$ .

$\cos (θ) = - \frac{3 \sqrt{10}}{\sqrt{10} \sqrt{10}}$

Schritt 7.3.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\cos (θ) = - \frac{3 \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1 + 1}}$

Schritt 7.3.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\cos (θ) = - \frac{3 \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{2}}$

Schritt 7.3.3.6

Schreibe ${\sqrt{10}}^{2}$ als $10$ um.

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Schritt 7.3.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{10}$ als $10^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\cos (θ) = - \frac{3 \sqrt{10}}{{(10^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 7.3.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (θ) = - \frac{3 \sqrt{10}}{10^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 7.3.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\cos (θ) = - \frac{3 \sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 7.3.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.3.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cos (θ) = - \frac{3 \sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 7.3.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\cos (θ) = - \frac{3 \sqrt{10}}{10}$

Schritt 7.3.3.6.5

Berechne den Exponenten.

$\cos (θ) = - \frac{3 \sqrt{10}}{10}$

Schritt 8

Berechne den Wert des Kotangens.

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Schritt 8.1

Bestimme den Wert von $\cot (θ)$ mithilfe der Definition des Kotangens.

$\cot (θ) = \frac{adj}{opp}$

Schritt 8.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\cot (θ) = \frac{- 3}{1}$

Schritt 8.3

Dividiere $- 3$ durch $1$ .

$\cot (θ) = - 3$

Schritt 9

Berechne den Wert des Sekans.

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Schritt 9.1

Bestimme den Wert von $\sec (θ)$ mithilfe der Definition des Sekans.

$\sec (θ) = \frac{hyp}{adj}$

Schritt 9.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\sec (θ) = \frac{\sqrt{10}}{- 3}$

Schritt 9.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\sec (θ) = - \frac{\sqrt{10}}{3}$

Schritt 10

Berechne den Wert des Kosekans.

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Schritt 10.1

Bestimme den Wert von $\csc (θ)$ mithilfe der Definition des Kosekans.

$\csc (θ) = \frac{hyp}{opp}$

Schritt 10.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\csc (θ) = \frac{\sqrt{10}}{1}$

Schritt 10.3

Dividiere $\sqrt{10}$ durch $1$ .

$\csc (θ) = \sqrt{10}$

Schritt 11

Das ist die Lösung zu jedem trigonometrischen Wert.

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{10}}{10}$

$\cos (θ) = - \frac{3 \sqrt{10}}{10}$

$\tan (θ) = - \frac{1}{3}$

$\cot (θ) = - 3$

$\sec (θ) = - \frac{\sqrt{10}}{3}$

$\csc (θ) = \sqrt{10}$