Trigonometrie Beispiele

$\frac{1 - \cos (2 x)}{\sin (2 x)}$

Schritt 1

Das ist die trigonometrische Form einer komplexen Zahl, wobei $| z |$ der Betrag und $θ$ der Winkel, der in der komplexen Ebene entsteht, ist.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Schritt 2

Der Betrag einer komplexen Zahl ist der Abstand vom Ursprung in der komplexen Zahlenebene.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , wobei $z = a + b i$

Schritt 3

Ersetze die tatsächlichen Werte von $a = \frac{1 - \cos (2 x)}{\sin (2 x)}$ und $b = 0$ .

$| z | = \sqrt{0^{2} + {(\frac{1 - \cos (2 x)}{\sin (2 x)})}^{2}}$

Schritt 4

Ermittle $| z |$ .

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Schritt 4.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$| z | = \sqrt{0 + {(\frac{1 - \cos (2 x)}{\sin (2 x)})}^{2}}$

Schritt 4.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1 - \cos (2 x)}{\sin (2 x)}$ an.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{{(1 - \cos (2 x))}^{2}}{\sin^{2} (2 x)}}$

Schritt 4.3

Multipliziere mit $1$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{{(1 - \cos (2 x))}^{2}}{\sin^{2} (2 x) \cdot 1}}$

Schritt 4.4

Separiere Brüche.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{{(1 - \cos (2 x))}^{2}}{1} \cdot \frac{1}{\sin^{2} (2 x)}}$

Schritt 4.5

Wandle von $\frac{1}{\sin^{2} (2 x)}$ nach $\csc^{2} (2 x)$ um.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{{(1 - \cos (2 x))}^{2}}{1} \cdot \csc^{2} (2 x)}$

Schritt 4.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.6.1

Dividiere ${(1 - \cos (2 x))}^{2}$ durch $1$ .

$| z | = \sqrt{0 + {(1 - \cos (2 x))}^{2} \csc^{2} (2 x)}$

Schritt 4.6.2

Schreibe ${(1 - \cos (2 x))}^{2}$ als $(1 - \cos (2 x)) (1 - \cos (2 x))$ um.

$| z | = \sqrt{0 + (1 - \cos (2 x)) (1 - \cos (2 x)) \csc^{2} (2 x)}$

Schritt 4.7

Multipliziere $(1 - \cos (2 x)) (1 - \cos (2 x))$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$| z | = \sqrt{0 + (1 (1 - \cos (2 x)) - \cos (2 x) (1 - \cos (2 x))) \csc^{2} (2 x)}$

Schritt 4.7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$| z | = \sqrt{0 + (1 \cdot 1 + 1 (- \cos (2 x)) - \cos (2 x) (1 - \cos (2 x))) \csc^{2} (2 x)}$

Schritt 4.7.3

Wende das Distributivgesetz an.

$| z | = \sqrt{0 + (1 \cdot 1 + 1 (- \cos (2 x)) - \cos (2 x) \cdot 1 - \cos (2 x) (- \cos (2 x))) \csc^{2} (2 x)}$

Schritt 4.8

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.8.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$| z | = \sqrt{0 + (1 + 1 (- \cos (2 x)) - \cos (2 x) \cdot 1 - \cos (2 x) (- \cos (2 x))) \csc^{2} (2 x)}$

Schritt 4.8.1.2

Mutltipliziere $- \cos (2 x)$ mit $1$ .

$| z | = \sqrt{0 + (1 - \cos (2 x) - \cos (2 x) \cdot 1 - \cos (2 x) (- \cos (2 x))) \csc^{2} (2 x)}$

Schritt 4.8.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$| z | = \sqrt{0 + (1 - \cos (2 x) - \cos (2 x) - \cos (2 x) (- \cos (2 x))) \csc^{2} (2 x)}$

Schritt 4.8.1.4

Multipliziere $- \cos (2 x) (- \cos (2 x))$ .

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Schritt 4.8.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$| z | = \sqrt{0 + (1 - \cos (2 x) - \cos (2 x) + 1 \cos (2 x) \cos (2 x)) \csc^{2} (2 x)}$

Schritt 4.8.1.4.2

Mutltipliziere $\cos (2 x)$ mit $1$ .

$| z | = \sqrt{0 + (1 - \cos (2 x) - \cos (2 x) + \cos (2 x) \cos (2 x)) \csc^{2} (2 x)}$

Schritt 4.8.1.4.3

Potenziere $\cos (2 x)$ mit $1$ .

$| z | = \sqrt{0 + (1 - \cos (2 x) - \cos (2 x) + \cos (2 x) \cos (2 x)) \csc^{2} (2 x)}$

Schritt 4.8.1.4.4

Potenziere $\cos (2 x)$ mit $1$ .

$| z | = \sqrt{0 + (1 - \cos (2 x) - \cos (2 x) + \cos (2 x) \cos (2 x)) \csc^{2} (2 x)}$

Schritt 4.8.1.4.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$| z | = \sqrt{0 + (1 - \cos (2 x) - \cos (2 x) + {\cos (2 x)}^{1 + 1}) \csc^{2} (2 x)}$

Schritt 4.8.1.4.6

Addiere $1$ und $1$ .

$| z | = \sqrt{0 + (1 - \cos (2 x) - \cos (2 x) + \cos^{2} (2 x)) \csc^{2} (2 x)}$

Schritt 4.8.2

Subtrahiere $\cos (2 x)$ von $- \cos (2 x)$ .

$| z | = \sqrt{0 + (1 - 2 \cos (2 x) + \cos^{2} (2 x)) \csc^{2} (2 x)}$

Schritt 4.9

Wende das Distributivgesetz an.

$| z | = \sqrt{0 + 1 \csc^{2} (2 x) - 2 \cos (2 x) \csc^{2} (2 x) + \cos^{2} (2 x) \csc^{2} (2 x)}$

Schritt 4.10

Vereinfache.

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Schritt 4.10.1

Mutltipliziere $\csc^{2} (2 x)$ mit $1$ .

$| z | = \sqrt{0 + \csc^{2} (2 x) - 2 \cos (2 x) \csc^{2} (2 x) + \cos^{2} (2 x) \csc^{2} (2 x)}$

Schritt 4.10.2

Schreibe $\csc (2 x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$| z | = \sqrt{0 + \csc^{2} (2 x) - 2 \cos (2 x) \csc^{2} (2 x) + \cos^{2} (2 x) {(\frac{1}{\sin (2 x)})}^{2}}$

Schritt 4.10.3

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\sin (2 x)}$ an.

$| z | = \sqrt{0 + \csc^{2} (2 x) - 2 \cos (2 x) \csc^{2} (2 x) + \cos^{2} (2 x) (\frac{1^{2}}{\sin^{2} (2 x)})}$

Schritt 4.10.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$| z | = \sqrt{0 + \csc^{2} (2 x) - 2 \cos (2 x) \csc^{2} (2 x) + \cos^{2} (2 x) (\frac{1}{\sin^{2} (2 x)})}$

Schritt 4.10.5

Kombiniere $\cos^{2} (2 x)$ und $\frac{1}{\sin^{2} (2 x)}$ .

$| z | = \sqrt{0 + \csc^{2} (2 x) - 2 \cos (2 x) \csc^{2} (2 x) + \frac{\cos^{2} (2 x)}{\sin^{2} (2 x)}}$

Schritt 4.11

Wandle von $\frac{\cos^{2} (2 x)}{\sin^{2} (2 x)}$ nach $\cot^{2} (2 x)$ um.

$| z | = \sqrt{0 + \csc^{2} (2 x) - 2 \cos (2 x) \csc^{2} (2 x) + \cot^{2} (2 x)}$

Schritt 4.12

Addiere $0$ und $\csc^{2} (2 x) - 2 \cos (2 x) \csc^{2} (2 x) + \cot^{2} (2 x)$ .

$| z | = \sqrt{\csc^{2} (2 x) - 2 \cos (2 x) \csc^{2} (2 x) + \cot^{2} (2 x)}$

Schritt 5

Der Winkel des Punkts in der komplexen Zahlenebene ist der inverse Tangens des Imaginärteils geteilt durch den Realteil.

$θ = \arctan (\frac{0}{\frac{1 - \cos (2 x)}{\sin (2 x)}})$

Schritt 6

Substituiere die Werte von $θ = \arctan (\frac{0}{\frac{1 - \cos (2 x)}{\sin (2 x)}})$ und $| z | = \sqrt{\csc^{2} (2 x) - 2 \cos (2 x) \csc^{2} (2 x) + \cot^{2} (2 x)}$ .

$\sqrt{\csc^{2} (2 x) - 2 \cos (2 x) \csc^{2} (2 x) + \cot^{2} (2 x)} (\cos (\arctan (\frac{0}{\frac{1 - \cos (2 x)}{\sin (2 x)}})) + i \sin (\arctan (\frac{0}{\frac{1 - \cos (2 x)}{\sin (2 x)}})))$