Trigonometrie Beispiele

$(\frac{3 \sqrt{13}}{13}, - \frac{2 \sqrt{13}}{13})$

Schritt 1

Um den $\csc (θ)$ zwischen der x-Achse und der Geraden zwischen den Punkten $(0, 0)$ und $(\frac{3 \sqrt{13}}{13}, - \frac{2 \sqrt{13}}{13})$ zu ermitteln, zeichne das Dreieck zwischen den drei Punkten $(0, 0)$ , $(\frac{3 \sqrt{13}}{13}, 0)$ und $(\frac{3 \sqrt{13}}{13}, - \frac{2 \sqrt{13}}{13})$ .

Gegenüberliegend : $- \frac{2 \sqrt{13}}{13}$

Ankathete : $\frac{3 \sqrt{13}}{13}$

Schritt 2

Berechne die Hypotenuse unter Anwendung des Satzes von Pythagoras $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

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Schritt 2.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 2.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{3 \sqrt{13}}{13}$ an.

$\sqrt{\frac{{(3 \sqrt{13})}^{2}}{13^{2}} + {(- \frac{2 \sqrt{13}}{13})}^{2}}$

Schritt 2.1.2

Wende die Produktregel auf $3 \sqrt{13}$ an.

$\sqrt{\frac{3^{2} {\sqrt{13}}^{2}}{13^{2}} + {(- \frac{2 \sqrt{13}}{13})}^{2}}$

Schritt 2.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{9 {\sqrt{13}}^{2}}{13^{2}} + {(- \frac{2 \sqrt{13}}{13})}^{2}}$

Schritt 2.2.2

Schreibe ${\sqrt{13}}^{2}$ als $13$ um.

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Schritt 2.2.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{13}$ als $13^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sqrt{\frac{9 {(13^{\frac{1}{2}})}^{2}}{13^{2}} + {(- \frac{2 \sqrt{13}}{13})}^{2}}$

Schritt 2.2.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{9 \cdot 13^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{13^{2}} + {(- \frac{2 \sqrt{13}}{13})}^{2}}$

Schritt 2.2.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sqrt{\frac{9 \cdot 13^{\frac{2}{2}}}{13^{2}} + {(- \frac{2 \sqrt{13}}{13})}^{2}}$

Schritt 2.2.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{\frac{9 \cdot 13^{\frac{2}{2}}}{13^{2}} + {(- \frac{2 \sqrt{13}}{13})}^{2}}$

Schritt 2.2.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{\frac{9 \cdot 13^{1}}{13^{2}} + {(- \frac{2 \sqrt{13}}{13})}^{2}}$

Schritt 2.2.2.5

Berechne den Exponenten.

$\sqrt{\frac{9 \cdot 13}{13^{2}} + {(- \frac{2 \sqrt{13}}{13})}^{2}}$

Schritt 2.3

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.1

Potenziere $13$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{9 \cdot 13}{169} + {(- \frac{2 \sqrt{13}}{13})}^{2}}$

Schritt 2.3.2

Mutltipliziere $9$ mit $13$ .

$\sqrt{\frac{117}{169} + {(- \frac{2 \sqrt{13}}{13})}^{2}}$

Schritt 2.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $117$ und $169$ .

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Schritt 2.3.3.1

Faktorisiere $13$ aus $117$ heraus.

$\sqrt{\frac{13 (9)}{169} + {(- \frac{2 \sqrt{13}}{13})}^{2}}$

Schritt 2.3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.3.2.1

Faktorisiere $13$ aus $169$ heraus.

$\sqrt{\frac{13 \cdot 9}{13 \cdot 13} + {(- \frac{2 \sqrt{13}}{13})}^{2}}$

Schritt 2.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{\frac{13 \cdot 9}{13 \cdot 13} + {(- \frac{2 \sqrt{13}}{13})}^{2}}$

Schritt 2.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{\frac{9}{13} + {(- \frac{2 \sqrt{13}}{13})}^{2}}$

Schritt 2.4

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 2.4.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{2 \sqrt{13}}{13}$ an.

$\sqrt{\frac{9}{13} + {(- 1)}^{2} {(\frac{2 \sqrt{13}}{13})}^{2}}$

Schritt 2.4.2

Wende die Produktregel auf $\frac{2 \sqrt{13}}{13}$ an.

$\sqrt{\frac{9}{13} + {(- 1)}^{2} \frac{{(2 \sqrt{13})}^{2}}{13^{2}}}$

Schritt 2.4.3

Wende die Produktregel auf $2 \sqrt{13}$ an.

$\sqrt{\frac{9}{13} + {(- 1)}^{2} \frac{2^{2} {\sqrt{13}}^{2}}{13^{2}}}$

Schritt 2.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.5.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{9}{13} + 1 \frac{2^{2} {\sqrt{13}}^{2}}{13^{2}}}$

Schritt 2.5.2

Mutltipliziere $\frac{2^{2} {\sqrt{13}}^{2}}{13^{2}}$ mit $1$ .

$\sqrt{\frac{9}{13} + \frac{2^{2} {\sqrt{13}}^{2}}{13^{2}}}$

Schritt 2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.6.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{9}{13} + \frac{4 {\sqrt{13}}^{2}}{13^{2}}}$

Schritt 2.6.2

Schreibe ${\sqrt{13}}^{2}$ als $13$ um.

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Schritt 2.6.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{13}$ als $13^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sqrt{\frac{9}{13} + \frac{4 {(13^{\frac{1}{2}})}^{2}}{13^{2}}}$

Schritt 2.6.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{9}{13} + \frac{4 \cdot 13^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{13^{2}}}$

Schritt 2.6.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sqrt{\frac{9}{13} + \frac{4 \cdot 13^{\frac{2}{2}}}{13^{2}}}$

Schritt 2.6.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.6.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{\frac{9}{13} + \frac{4 \cdot 13^{\frac{2}{2}}}{13^{2}}}$

Schritt 2.6.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{\frac{9}{13} + \frac{4 \cdot 13^{1}}{13^{2}}}$

Schritt 2.6.2.5

Berechne den Exponenten.

$\sqrt{\frac{9}{13} + \frac{4 \cdot 13}{13^{2}}}$

Schritt 2.7

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.7.1

Potenziere $13$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{9}{13} + \frac{4 \cdot 13}{169}}$

Schritt 2.7.2

Mutltipliziere $4$ mit $13$ .

$\sqrt{\frac{9}{13} + \frac{52}{169}}$

Schritt 2.7.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $52$ und $169$ .

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Schritt 2.7.3.1

Faktorisiere $13$ aus $52$ heraus.

$\sqrt{\frac{9}{13} + \frac{13 (4)}{169}}$

Schritt 2.7.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.7.3.2.1

Faktorisiere $13$ aus $169$ heraus.

$\sqrt{\frac{9}{13} + \frac{13 \cdot 4}{13 \cdot 13}}$

Schritt 2.7.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{\frac{9}{13} + \frac{13 \cdot 4}{13 \cdot 13}}$

Schritt 2.7.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{\frac{9}{13} + \frac{4}{13}}$

Schritt 2.7.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.7.4.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{9 + 4}{13}}$

Schritt 2.7.4.2

Addiere $9$ und $4$ .

$\sqrt{\frac{13}{13}}$

Schritt 2.7.4.3

Dividiere $13$ durch $13$ .

$\sqrt{1}$

Schritt 2.7.4.4

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$1$

Schritt 3

Aus $\csc (θ) = \frac{Hypotenuse}{Gegenüberliegend}$ folgt $\csc (θ) = \frac{1}{- \frac{2 \sqrt{13}}{13}}$ .

$\frac{1}{- \frac{2 \sqrt{13}}{13}}$

Schritt 4

Vereinfache $\csc (θ)$ .

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Schritt 4.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1$ und $- 1$ .

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Schritt 4.1.1

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$\csc (θ) = \frac{- 1 \cdot - 1}{- \frac{2 \sqrt{13}}{13}}$

Schritt 4.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\csc (θ) = - \frac{1}{\frac{2 \sqrt{13}}{13}}$

Schritt 4.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\csc (θ) = - (1 (\frac{13}{2 \sqrt{13}}))$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $\frac{13}{2 \sqrt{13}}$ mit $1$ .

$\csc (θ) = - \frac{13}{2 \sqrt{13}}$

Schritt 4.4

Mutltipliziere $\frac{13}{2 \sqrt{13}}$ mit $\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$ .

$\csc (θ) = - (\frac{13}{2 \sqrt{13}} \cdot \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}})$

Schritt 4.5

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.5.1

Mutltipliziere $\frac{13}{2 \sqrt{13}}$ mit $\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$ .

$\csc (θ) = - \frac{13 \sqrt{13}}{2 \sqrt{13} \sqrt{13}}$

Schritt 4.5.2

Bewege $\sqrt{13}$ .

$\csc (θ) = - \frac{13 \sqrt{13}}{2 (\sqrt{13} \sqrt{13})}$

Schritt 4.5.3

Potenziere $\sqrt{13}$ mit $1$ .

$\csc (θ) = - \frac{13 \sqrt{13}}{2 (\sqrt{13} \sqrt{13})}$

Schritt 4.5.4

Potenziere $\sqrt{13}$ mit $1$ .

$\csc (θ) = - \frac{13 \sqrt{13}}{2 (\sqrt{13} \sqrt{13})}$

Schritt 4.5.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\csc (θ) = - \frac{13 \sqrt{13}}{2 {\sqrt{13}}^{1 + 1}}$

Schritt 4.5.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\csc (θ) = - \frac{13 \sqrt{13}}{2 {\sqrt{13}}^{2}}$

Schritt 4.5.7

Schreibe ${\sqrt{13}}^{2}$ als $13$ um.

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Schritt 4.5.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{13}$ als $13^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\csc (θ) = - \frac{13 \sqrt{13}}{2 {(13^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.5.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\csc (θ) = - \frac{13 \sqrt{13}}{2 \cdot 13^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 4.5.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\csc (θ) = - \frac{13 \sqrt{13}}{2 \cdot 13^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.5.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.5.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\csc (θ) = - \frac{13 \sqrt{13}}{2 \cdot 13^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.5.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\csc (θ) = - \frac{13 \sqrt{13}}{2 \cdot 13}$

Schritt 4.5.7.5

Berechne den Exponenten.

$\csc (θ) = - \frac{13 \sqrt{13}}{2 \cdot 13}$

Schritt 4.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $13$ .

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Schritt 4.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\csc (θ) = - \frac{13 \sqrt{13}}{2 \cdot 13}$

Schritt 4.6.2

Forme den Ausdruck um.

$\csc (θ) = - \frac{\sqrt{13}}{2}$

Schritt 5

Approximiere das Ergebnis.

$\csc (θ) = - \frac{\sqrt{13}}{2} \approx - 1.80277563$