Trigonometrie Beispiele

$\cos^{2} (θ) + 9 \cos (θ) + 18 = 0$

Schritt 1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Es sei $u = \cos (θ)$ . Ersetze $u$ für alle $\cos (θ)$ .

$u^{2} + 9 u + 18 = 0$

Schritt 1.2

Faktorisiere $u^{2} + 9 u + 18$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $18$ und deren Summe $9$ ist.

$3, 6$

Schritt 1.2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(u + 3) (u + 6) = 0$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $\cos (θ)$ .

$(\cos (θ) + 3) (\cos (θ) + 6) = 0$

Schritt 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$\cos (θ) + 3 = 0$

$\cos (θ) + 6 = 0$

Schritt 3

Setze $\cos (θ) + 3$ gleich $0$ und löse nach $θ$ auf.

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Schritt 3.1

Setze $\cos (θ) + 3$ gleich $0$ .

$\cos (θ) + 3 = 0$

Schritt 3.2

Löse $\cos (θ) + 3 = 0$ nach $θ$ auf.

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Schritt 3.2.1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\cos (θ) = - 3$

Schritt 3.2.2

Der Wertebereich des Cosinus ist $- 1 \leq y \leq 1$ . Da $- 3$ nicht in diesen Bereich fällt, gibt es keine Lösung.

Keine Lösung

Schritt 4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(\cos (θ) + 3) (\cos (θ) + 6) = 0$ wahr machen.

Keine Lösung