Trigonometrie Beispiele

$\cos (x) + \sin (x) \tan (x)$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Schreibe $\tan (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\cos (x) + \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 1.2

Multipliziere $\sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Kombiniere $\sin (x)$ und $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\cos (x) + \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 1.2.2

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\cos (x) + \frac{\sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 1.2.3

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\cos (x) + \frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos (x)}$

Schritt 1.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\cos (x) + \frac{{\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)}$

Schritt 1.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\cos (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Schritt 2

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Faktorisiere $\sin (x)$ aus $\sin^{2} (x)$ heraus.

$\cos (x) + \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 2.2

Separiere Brüche.

$\cos (x) + \frac{\sin (x)}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 2.3

Wandle von $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ nach $\tan (x)$ um.

$\cos (x) + \frac{\sin (x)}{1} \tan (x)$

Schritt 2.4

Dividiere $\sin (x)$ durch $1$ .

$\cos (x) + \sin (x) \tan (x)$

Schritt 3

Das ist die trigonometrische Form einer komplexen Zahl, wobei $| z |$ der Betrag und $θ$ der Winkel, der in der komplexen Ebene entsteht, ist.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Schritt 4

Der Betrag einer komplexen Zahl ist der Abstand vom Ursprung in der komplexen Zahlenebene.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , wobei $z = a + b i$

Schritt 5

Ersetze die tatsächlichen Werte von $a = \cos (x)$ und $b = \sin (x) \tan (x)$ .

$| z | = \sqrt{\sin (x) \tan^{2} (x) + \cos^{2} (x)}$

Schritt 6

Ermittle $| z |$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Schreibe $\tan (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$| z | = \sqrt{\sin (x) {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} + \cos^{2} (x)}$

Schritt 6.2

Wende die Produktregel auf $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ an.

$| z | = \sqrt{\sin (x) (\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}) + \cos^{2} (x)}$

Schritt 6.3

Multipliziere $\sin (x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.1

Kombiniere $\sin (x)$ und $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{\sin (x) \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \cos^{2} (x)}$

Schritt 6.3.2

Multipliziere $\sin (x)$ mit $\sin^{2} (x)$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.2.1

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $\sin^{2} (x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.2.1.1

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$| z | = \sqrt{\frac{\sin (x) \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \cos^{2} (x)}$

Schritt 6.3.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$| z | = \sqrt{\frac{{\sin (x)}^{1 + 2}}{\cos^{2} (x)} + \cos^{2} (x)}$

Schritt 6.3.2.2

Addiere $1$ und $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{\sin^{3} (x)}{\cos^{2} (x)} + \cos^{2} (x)}$

Schritt 6.4

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.4.1

Faktorisiere $\sin^{2} (x)$ aus $\sin^{3} (x)$ heraus.

$| z | = \sqrt{\frac{\sin^{2} (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \cos^{2} (x)}$

Schritt 6.4.2

Multipliziere mit $1$ .

$| z | = \sqrt{\frac{\sin^{2} (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x) \cdot 1} + \cos^{2} (x)}$

Schritt 6.4.3

Separiere Brüche.

$| z | = \sqrt{\frac{\sin (x)}{1} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \cos^{2} (x)}$

Schritt 6.4.4

Wandle von $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ nach $\tan^{2} (x)$ um.

$| z | = \sqrt{\frac{\sin (x)}{1} \cdot \tan^{2} (x) + \cos^{2} (x)}$

Schritt 6.4.5

Dividiere $\sin (x)$ durch $1$ .

$| z | = \sqrt{\sin (x) \tan^{2} (x) + \cos^{2} (x)}$

Schritt 7

Der Winkel des Punkts in der komplexen Zahlenebene ist der inverse Tangens des Imaginärteils geteilt durch den Realteil.

$θ = \arctan (\frac{\sin (x) \tan (x)}{\cos (x)})$

Schritt 8

Substituiere die Werte von $θ = \arctan (\frac{\sin (x) \tan (x)}{\cos (x)})$ und $| z | = \sqrt{\sin (x) \tan^{2} (x) + \cos^{2} (x)}$ .

$\sqrt{\sin (x) \tan^{2} (x) + \cos^{2} (x)} (\cos (\arctan (\frac{\sin (x) \tan (x)}{\cos (x)})) + i \sin (\arctan (\frac{\sin (x) \tan (x)}{\cos (x)})))$