Trigonometrie Beispiele

$4 \cos^{2} (θ) = 1$

Schritt 1

Teile jeden Ausdruck in $4 \cos^{2} (θ) = 1$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 1.1

Teile jeden Ausdruck in $4 \cos^{2} (θ) = 1$ durch $4$ .

$\frac{4 \cos^{2} (θ)}{4} = \frac{1}{4}$

Schritt 1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \cos^{2} (θ)}{4} = \frac{1}{4}$

Schritt 1.2.1.2

Dividiere $\cos^{2} (θ)$ durch $1$ .

$\cos^{2} (θ) = \frac{1}{4}$

Schritt 2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$\cos (θ) = \pm \sqrt{\frac{1}{4}}$

Schritt 3

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{1}{4}}$ .

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Schritt 3.1

Schreibe $\sqrt{\frac{1}{4}}$ als $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$ um.

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$

Schritt 3.2

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$\cos (θ) = \pm \frac{1}{\sqrt{4}}$

Schritt 3.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.3.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\cos (θ) = \pm \frac{1}{\sqrt{2^{2}}}$

Schritt 3.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\cos (θ) = \pm \frac{1}{2}$

Schritt 4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$\cos (θ) = \frac{1}{2}$

Schritt 4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$\cos (θ) = - \frac{1}{2}$

Schritt 4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$\cos (θ) = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}$

Schritt 5

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $θ$ aufzulösen.

$\cos (θ) = \frac{1}{2}$

$\cos (θ) = - \frac{1}{2}$

Schritt 6

Löse in $\cos (θ) = \frac{1}{2}$ nach $θ$ auf.

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Schritt 6.1

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $θ$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$θ = \arccos (\frac{1}{2})$

Schritt 6.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.1

Der genau Wert von $\arccos (\frac{1}{2})$ ist $60$ .

$θ = 60$

Schritt 6.3

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $360$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$θ = 360 - 60$

Schritt 6.4

Subtrahiere $60$ von $360$ .

$θ = 300$

Schritt 6.5

Ermittele die Periode von $\cos (θ)$ .

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Schritt 6.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{360}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{360}{| b |}$

Schritt 6.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{360}{| 1 |}$

Schritt 6.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{360}{1}$

Schritt 6.5.4

Dividiere $360$ durch $1$ .

$360$

Schritt 6.6

Die Periode der $\cos (θ)$ -Funktion ist $360$ , sodass sich die Werte alle $360$ Grad in beide Richtungen wiederholen werden.

$θ = 60 + 360 n, 300 + 360 n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 7

Löse in $\cos (θ) = - \frac{1}{2}$ nach $θ$ auf.

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Schritt 7.1

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $θ$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$θ = \arccos (- \frac{1}{2})$

Schritt 7.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.2.1

Der genau Wert von $\arccos (- \frac{1}{2})$ ist $120$ .

$θ = 120$

Schritt 7.3

Die Cosinus-Funktion ist im zweiten und dritten Quadranten negativ. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $360$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$θ = 360 - 120$

Schritt 7.4

Subtrahiere $120$ von $360$ .

$θ = 240$

Schritt 7.5

Ermittele die Periode von $\cos (θ)$ .

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Schritt 7.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{360}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{360}{| b |}$

Schritt 7.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{360}{| 1 |}$

Schritt 7.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{360}{1}$

Schritt 7.5.4

Dividiere $360$ durch $1$ .

$360$

Schritt 7.6

Die Periode der $\cos (θ)$ -Funktion ist $360$ , sodass sich die Werte alle $360$ Grad in beide Richtungen wiederholen werden.

$θ = 120 + 360 n, 240 + 360 n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 8

Liste alle Lösungen auf.

$θ = 60 + 360 n, 300 + 360 n, 120 + 360 n, 240 + 360 n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 9

Fasse die Lösungen zusammen.

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Schritt 9.1

Führe $60 + 360 n$ und $240 + 360 n$ zu $60 + 180 n$ zusammen.

$θ = 60 + 180 n, 300 + 360 n, 120 + 360 n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 9.2

Führe $300 + 360 n$ und $120 + 360 n$ zu $120 + 180 n$ zusammen.

$θ = 60 + 180 n, 120 + 180 n$ , für jede Ganzzahl $n$