Trigonometrie Beispiele

$- \frac{1}{1 + i}$

Schritt 1

Multipliziere den Zähler und den Nenner von $\frac{1}{1 + 1 i}$ mit der Konjugierten von $1 + 1 i$ , um den Nenner reell zu machen.

$- (\frac{1}{1 + 1 i} \cdot \frac{1 - i}{1 - i})$

Schritt 2

Multipliziere.

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Schritt 2.1

Kombinieren.

$- \frac{1 (1 - i)}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $1 - i$ mit $1$ .

$- \frac{1 - i}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Schritt 2.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.3.1

Multipliziere $(1 + 1 i) (1 - i)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.3.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{1 - i}{1 (1 - i) + 1 i (1 - i)}$

Schritt 2.3.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{1 - i}{1 \cdot 1 + 1 (- i) + 1 i (1 - i)}$

Schritt 2.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{1 - i}{1 \cdot 1 + 1 (- i) + 1 i \cdot 1 + 1 i (- i)}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.2.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$- \frac{1 - i}{1 + 1 (- i) + 1 i \cdot 1 + 1 i (- i)}$

Schritt 2.3.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- \frac{1 - i}{1 - 1 i + 1 i \cdot 1 + 1 i (- i)}$

Schritt 2.3.2.3

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$- \frac{1 - i}{1 - 1 i + 1 i + 1 i (- i)}$

Schritt 2.3.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- \frac{1 - i}{1 - 1 i + 1 i - i i}$

Schritt 2.3.2.5

Potenziere $i$ mit $1$ .

$- \frac{1 - i}{1 - 1 i + 1 i - (i^{1} i)}$

Schritt 2.3.2.6

Potenziere $i$ mit $1$ .

$- \frac{1 - i}{1 - 1 i + 1 i - (i^{1} i^{1})}$

Schritt 2.3.2.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{1 - i}{1 - 1 i + 1 i - i^{1 + 1}}$

Schritt 2.3.2.8

Addiere $1$ und $1$ .

$- \frac{1 - i}{1 - 1 i + 1 i - i^{2}}$

Schritt 2.3.2.9

Addiere $- 1 i$ und $1 i$ .

$- \frac{1 - i}{1 + 0 - i^{2}}$

Schritt 2.3.2.10

Addiere $1$ und $0$ .

$- \frac{1 - i}{1 - i^{2}}$

Schritt 2.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.3.1

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$- \frac{1 - i}{1 - - 1}$

Schritt 2.3.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- \frac{1 - i}{1 + 1}$

Schritt 2.3.4

Addiere $1$ und $1$ .

$- \frac{1 - i}{2}$

Schritt 3

Zerlege den Bruch $\frac{1 - i}{2}$ in zwei Brüche.

$- (\frac{1}{2} + \frac{- i}{2})$

Schritt 4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- (\frac{1}{2} - \frac{i}{2})$

Schritt 5

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{1}{2} - - \frac{i}{2}$

Schritt 6

Multipliziere $- - \frac{i}{2}$ .

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- \frac{1}{2} + 1 \frac{i}{2}$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $\frac{i}{2}$ mit $1$ .

$- \frac{1}{2} + \frac{i}{2}$

Schritt 7

Das ist die trigonometrische Form einer komplexen Zahl, wobei $| z |$ der Betrag und $θ$ der Winkel, der in der komplexen Ebene entsteht, ist.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Schritt 8

Der Betrag einer komplexen Zahl ist der Abstand vom Ursprung in der komplexen Zahlenebene.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , wobei $z = a + b i$

Schritt 9

Ersetze die tatsächlichen Werte von $a = - \frac{1}{2}$ und $b = \frac{1}{2}$ .

$| z | = \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} + {(- \frac{1}{2})}^{2}}$

Schritt 10

Ermittle $| z |$ .

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Schritt 10.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$| z | = \sqrt{\frac{1^{2}}{2^{2}} + {(- \frac{1}{2})}^{2}}$

Schritt 10.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$| z | = \sqrt{\frac{1}{2^{2}} + {(- \frac{1}{2})}^{2}}$

Schritt 10.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + {(- \frac{1}{2})}^{2}}$

Schritt 10.4

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 10.4.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{1}{2}$ an.

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + {(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Schritt 10.4.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + {(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{2^{2}})}$

Schritt 10.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 10.5.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + 1 (\frac{1^{2}}{2^{2}})}$

Schritt 10.5.2

Mutltipliziere $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ mit $1$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1^{2}}{2^{2}}}$

Schritt 10.5.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{2^{2}}}$

Schritt 10.5.4

Potenziere $2$ mit $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{4}}$

Schritt 10.5.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$| z | = \sqrt{\frac{1 + 1}{4}}$

Schritt 10.5.6

Addiere $1$ und $1$ .

$| z | = \sqrt{\frac{2}{4}}$

Schritt 10.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 10.6.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$| z | = \sqrt{\frac{2 (1)}{4}}$

Schritt 10.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.6.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$| z | = \sqrt{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Schritt 10.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$| z | = \sqrt{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Schritt 10.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$| z | = \sqrt{\frac{1}{2}}$

Schritt 10.7

Schreibe $\sqrt{\frac{1}{2}}$ als $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ um.

$| z | = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Schritt 10.8

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$| z | = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Schritt 10.9

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$| z | = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Schritt 10.10

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 10.10.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 10.10.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 10.10.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 10.10.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Schritt 10.10.5

Addiere $1$ und $1$ .

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 10.10.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 10.10.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 10.10.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 10.10.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 10.10.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 10.10.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 10.10.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 10.10.6.5

Berechne den Exponenten.

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 11

Der Winkel des Punkts in der komplexen Zahlenebene ist der inverse Tangens des Imaginärteils geteilt durch den Realteil.

$θ = \arctan (\frac{\frac{1}{2}}{- \frac{1}{2}})$

Schritt 12

Da die Umkehrfunktion des Tangens von $\frac{\frac{1}{2}}{- \frac{1}{2}}$ einen Winkel im zweiten Quadranten ergibt, ist der Wert des Winkels $\frac{3 π}{4}$ .

$θ = \frac{3 π}{4}$

Schritt 13

Substituiere die Werte von $θ = \frac{3 π}{4}$ und $| z | = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 (\cos (\frac{3 π}{4}) + i \sin (\frac{3 π}{4}))}$