Trigonometrie Beispiele

$\frac{1 - \sin (t)}{\cos^{2} (t)} + \frac{1}{1 - \sin (t)} = 2 \sec^{2} (t)$

Schritt 1

Beginne auf der linken Seite.

$\frac{1 - \sin (t)}{\cos^{2} (t)} + \frac{1}{1 - \sin (t)}$

Schritt 2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1

Um $\frac{1 - \sin (t)}{\cos^{2} (t)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{1 - \sin (t)}{1 - \sin (t)}$ .

$\frac{1 - \sin (t)}{\cos^{2} (t)} \cdot \frac{1 - \sin (t)}{1 - \sin (t)} + \frac{1}{1 - \sin (t)}$

Schritt 2.2

Um $\frac{1}{1 - \sin (t)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\cos^{2} (t)}{\cos^{2} (t)}$ .

$\frac{1 - \sin (t)}{\cos^{2} (t)} \cdot \frac{1 - \sin (t)}{1 - \sin (t)} + \frac{1}{1 - \sin (t)} \cdot \frac{\cos^{2} (t)}{\cos^{2} (t)}$

Schritt 2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(1 - \sin (t)) \cos^{2} (t)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.3.1

Mutltipliziere $\frac{1 - \sin (t)}{\cos^{2} (t)}$ mit $\frac{1 - \sin (t)}{1 - \sin (t)}$ .

$\frac{(1 - \sin (t)) (1 - \sin (t))}{\cos^{2} (t) (1 - \sin (t))} + \frac{1}{1 - \sin (t)} \cdot \frac{\cos^{2} (t)}{\cos^{2} (t)}$

Schritt 2.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{1 - \sin (t)}$ mit $\frac{\cos^{2} (t)}{\cos^{2} (t)}$ .

$\frac{(1 - \sin (t)) (1 - \sin (t))}{\cos^{2} (t) (1 - \sin (t))} + \frac{\cos^{2} (t)}{(1 - \sin (t)) \cos^{2} (t)}$

Schritt 2.3.3

Stelle die Faktoren von $(1 - \sin (t)) \cos^{2} (t)$ um.

$\frac{(1 - \sin (t)) (1 - \sin (t))}{\cos^{2} (t) (1 - \sin (t))} + \frac{\cos^{2} (t)}{\cos^{2} (t) (1 - \sin (t))}$

Schritt 2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(1 - \sin (t)) (1 - \sin (t)) + \cos^{2} (t)}{\cos^{2} (t) (1 - \sin (t))}$

Schritt 2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.1

Multipliziere $(1 - \sin (t)) (1 - \sin (t))$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.5.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1 (1 - \sin (t)) - \sin (t) (1 - \sin (t)) + \cos^{2} (t)}{\cos^{2} (t) (1 - \sin (t))}$

Schritt 2.5.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1 \cdot 1 + 1 (- \sin (t)) - \sin (t) (1 - \sin (t)) + \cos^{2} (t)}{\cos^{2} (t) (1 - \sin (t))}$

Schritt 2.5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1 \cdot 1 + 1 (- \sin (t)) - \sin (t) \cdot 1 - \sin (t) (- \sin (t)) + \cos^{2} (t)}{\cos^{2} (t) (1 - \sin (t))}$

Schritt 2.5.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.5.2.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\frac{1 + 1 (- \sin (t)) - \sin (t) \cdot 1 - \sin (t) (- \sin (t)) + \cos^{2} (t)}{\cos^{2} (t) (1 - \sin (t))}$

Schritt 2.5.2.1.2

Mutltipliziere $- \sin (t)$ mit $1$ .

$\frac{1 - \sin (t) - \sin (t) \cdot 1 - \sin (t) (- \sin (t)) + \cos^{2} (t)}{\cos^{2} (t) (1 - \sin (t))}$

Schritt 2.5.2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1 - \sin (t) - \sin (t) - \sin (t) (- \sin (t)) + \cos^{2} (t)}{\cos^{2} (t) (1 - \sin (t))}$

Schritt 2.5.2.1.4

Multipliziere $- \sin (t) (- \sin (t))$ .

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Schritt 2.5.2.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{1 - \sin (t) - \sin (t) + 1 \sin (t) \sin (t) + \cos^{2} (t)}{\cos^{2} (t) (1 - \sin (t))}$

Schritt 2.5.2.1.4.2

Mutltipliziere $\sin (t)$ mit $1$ .

$\frac{1 - \sin (t) - \sin (t) + \sin (t) \sin (t) + \cos^{2} (t)}{\cos^{2} (t) (1 - \sin (t))}$

Schritt 2.5.2.1.4.3

Potenziere $\sin (t)$ mit $1$ .

$\frac{1 - \sin (t) - \sin (t) + \sin^{1} (t) \sin (t) + \cos^{2} (t)}{\cos^{2} (t) (1 - \sin (t))}$

Schritt 2.5.2.1.4.4

Potenziere $\sin (t)$ mit $1$ .

$\frac{1 - \sin (t) - \sin (t) + \sin^{1} (t) \sin^{1} (t) + \cos^{2} (t)}{\cos^{2} (t) (1 - \sin (t))}$

Schritt 2.5.2.1.4.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1 - \sin (t) - \sin (t) + {\sin (t)}^{1 + 1} + \cos^{2} (t)}{\cos^{2} (t) (1 - \sin (t))}$

Schritt 2.5.2.1.4.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1 - \sin (t) - \sin (t) + \sin^{2} (t) + \cos^{2} (t)}{\cos^{2} (t) (1 - \sin (t))}$

Schritt 2.5.2.2

Subtrahiere $\sin (t)$ von $- \sin (t)$ .

$\frac{1 - 2 \sin (t) + \sin^{2} (t) + \cos^{2} (t)}{\cos^{2} (t) (1 - \sin (t))}$

Schritt 2.5.3

Schreibe $1 - 2 \sin (t) + \sin^{2} (t) + \cos^{2} (t)$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 2.5.3.1

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{1 - 2 \sin (t) + 1}{\cos^{2} (t) (1 - \sin (t))}$

Schritt 2.5.3.2

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{2 - 2 \sin (t)}{\cos^{2} (t) (1 - \sin (t))}$

Schritt 2.5.3.3

Faktorisiere $2$ aus $2 - 2 \sin (t)$ heraus.

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Schritt 2.5.3.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (1) - 2 \sin (t)}{\cos^{2} (t) (1 - \sin (t))}$

Schritt 2.5.3.3.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2 \sin (t)$ heraus.

$\frac{2 (1) + 2 (- \sin (t))}{\cos^{2} (t) (1 - \sin (t))}$

Schritt 2.5.3.3.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (1) + 2 (- \sin (t))$ heraus.

$\frac{2 (1 - \sin (t))}{\cos^{2} (t) (1 - \sin (t))}$

Schritt 2.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 - \sin (t)$ .

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Schritt 2.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (1 - \sin (t))}{\cos^{2} (t) (1 - \sin (t))}$

Schritt 2.6.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{\cos^{2} (t)}$

Schritt 3

Schreibe $\frac{2}{\cos^{2} (t)}$ als $2 \sec^{2} (t)$ um.

$2 \sec^{2} (t)$

Schritt 4

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\frac{1 - \sin (t)}{\cos^{2} (t)} + \frac{1}{1 - \sin (t)} = 2 \sec^{2} (t)$ ist eine Identitätsgleichung