Trigonometrie Beispiele

$\sec^{2} (θ) - 25 = 0$

Schritt 1

Addiere $25$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\sec^{2} (θ) = 25$

Schritt 2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$\sec (θ) = \pm \sqrt{25}$

Schritt 3

Vereinfache $\pm \sqrt{25}$ .

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Schritt 3.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$\sec (θ) = \pm \sqrt{5^{2}}$

Schritt 3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\sec (θ) = \pm 5$

Schritt 4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$\sec (θ) = 5$

Schritt 4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$\sec (θ) = - 5$

Schritt 4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$\sec (θ) = 5, - 5$

Schritt 5

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $θ$ aufzulösen.

$\sec (θ) = 5$

$\sec (θ) = - 5$

Schritt 6

Löse in $\sec (θ) = 5$ nach $θ$ auf.

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Schritt 6.1

Bilde den inversen Sekans von beiden Seiten der Gleichung, um $θ$ aus dem Sekans zu ziehen.

$θ = arcsec (5)$

Schritt 6.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.1

Berechne $arcsec (5)$ .

$θ = 78.46304096$

Schritt 6.3

DIe Sekans-Funktion ist im ersten und vierten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $360$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$θ = 360 - 78.46304096$

Schritt 6.4

Subtrahiere $78.46304096$ von $360$ .

$θ = 281.53695903$

Schritt 6.5

Ermittele die Periode von $\sec (θ)$ .

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Schritt 6.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{360}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{360}{| b |}$

Schritt 6.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{360}{| 1 |}$

Schritt 6.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{360}{1}$

Schritt 6.5.4

Dividiere $360$ durch $1$ .

$360$

Schritt 6.6

Die Periode der $\sec (θ)$ -Funktion ist $360$ , sodass sich die Werte alle $360$ Grad in beide Richtungen wiederholen werden.

$θ = 78.46304096 + 360 n, 281.53695903 + 360 n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 7

Löse in $\sec (θ) = - 5$ nach $θ$ auf.

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Schritt 7.1

Bilde den inversen Sekans von beiden Seiten der Gleichung, um $θ$ aus dem Sekans zu ziehen.

$θ = arcsec (- 5)$

Schritt 7.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.2.1

Berechne $arcsec (- 5)$ .

$θ = 101.53695903$

Schritt 7.3

Die Sekans-Funktion ist im zweiten und dritten Quadranten negativ. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $360$ , um die Lösung im dritten Quadraten zu ermitteln.

$θ = 360 - 101.53695903$

Schritt 7.4

Subtrahiere $101.53695903$ von $360$ .

$θ = 258.46304096$

Schritt 7.5

Ermittele die Periode von $\sec (θ)$ .

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Schritt 7.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{360}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{360}{| b |}$

Schritt 7.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{360}{| 1 |}$

Schritt 7.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{360}{1}$

Schritt 7.5.4

Dividiere $360$ durch $1$ .

$360$

Schritt 7.6

Die Periode der $\sec (θ)$ -Funktion ist $360$ , sodass sich die Werte alle $360$ Grad in beide Richtungen wiederholen werden.

$θ = 101.53695903 + 360 n, 258.46304096 + 360 n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 8

Liste alle Lösungen auf.

$θ = 78.46304096 + 360 n, 281.53695903 + 360 n, 101.53695903 + 360 n, 258.46304096 + 360 n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 9

Fasse die Lösungen zusammen.

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Schritt 9.1

Führe $78.46304096 + 360 n$ und $258.46304096 + 360 n$ zu $78.46304096 + 180 n$ zusammen.

$θ = 78.46304096 + 180 n, 281.53695903 + 360 n, 101.53695903 + 360 n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 9.2

Führe $281.53695903 + 360 n$ und $101.53695903 + 360 n$ zu $101.53695903 + 180 n$ zusammen.

$θ = 78.46304096 + 180 n, 101.53695903 + 180 n$ , für jede Ganzzahl $n$