Trigonometrie Beispiele

$\cos (θ) = - 1$

Schritt 1

Benutze die Definition des Kosinus, um die bekannten Seiten des rechtwinkligen Dreiecks im Einheitskreis zu ermitteln. Der Quadrant bestimmt das Vorzeichen jedes Wertes.

$\cos (θ) = \frac{Ankathete}{Hypotenuse}$

Schritt 2

Berechne die Gegenkathete des Dreiecks im Einheitskreis. Da die Ankathete und die Hypotenuse bekannt sind, kannst du den Satz des Pythagoras anwenden, um die verbleibende Seite zu berechnen.

$Gegenüberliegend = - \sqrt{{Hypotenuse}^{2} - {Ankathete}^{2}}$

Schritt 3

Ersetze die bekannten Werte in der Gleichung.

$Gegenüberliegend = - \sqrt{{(1)}^{2} - {(- 1)}^{2}}$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck unter dem Wurzelzeichen.

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Schritt 4.1

Kehre das Vorzeichen von

$\sqrt{{(1)}^{2} - {(- 1)}^{2}}$ um.

Gegenkathete

$= - \sqrt{{(1)}^{2} - {(- 1)}^{2}}$

Schritt 4.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

Gegenkathete

$= - \sqrt{1 - {(- 1)}^{2}}$

Schritt 4.3

Multipliziere

$- 1$ mit

${(- 1)}^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.3.1

Mutltipliziere

$- 1$ mit

${(- 1)}^{2}$ .

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Schritt 4.3.1.1

Potenziere

$- 1$ mit

$1$ .

Gegenkathete

$= - \sqrt{1 + (- 1) {(- 1)}^{2}}$

Schritt 4.3.1.2

Wende die Exponentenregel

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

Gegenkathete

$= - \sqrt{1 + {(- 1)}^{1 + 2}}$

Gegenkathete

$= - \sqrt{1 + {(- 1)}^{1 + 2}}$

Schritt 4.3.2

Addiere

$1$ und

$2$ .

Gegenkathete

$= - \sqrt{1 + {(- 1)}^{3}}$

Gegenkathete

$= - \sqrt{1 + {(- 1)}^{3}}$

Schritt 4.4

Potenziere

$- 1$ mit

$3$ .

Gegenkathete

$= - \sqrt{1 - 1}$

Schritt 4.5

Subtrahiere

$1$ von

$1$ .

Gegenkathete

$= - \sqrt{0}$

Schritt 4.6

Schreibe

$0$ als

$0^{2}$ um.

Gegenkathete

$= - \sqrt{0^{2}}$

Schritt 4.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

Gegenkathete

$= - 0$

Schritt 4.8

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$0$ .

Gegenkathete

$= 0$

Gegenkathete

$= 0$

Schritt 5

Ermittle den Wert des Sinus.

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Schritt 5.1

Bestimme den Wert von

$\sin (θ)$ mithilfe der Definition des Sinus.

$\sin (θ) = \frac{opp}{hyp}$

Schritt 5.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\sin (θ) = \frac{0}{1}$

Schritt 5.3

Dividiere

$0$ durch

$1$ .

$\sin (θ) = 0$

Schritt 6

Bestimme den Wert des Tangens.

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Schritt 6.1

Benutze die Definition des Tangens, um den Wert von

$\tan (θ)$ zu ermitteln.

$\tan (θ) = \frac{opp}{adj}$

Schritt 6.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\tan (θ) = \frac{0}{- 1}$

Schritt 6.3

Dividiere

$0$ durch

$- 1$ .

$\tan (θ) = 0$

Schritt 7

Berechne den Wert des Kotangens.

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Schritt 7.1

Bestimme den Wert von

$\cot (θ)$ mithilfe der Definition des Kotangens.

$\cot (θ) = \frac{adj}{opp}$

Schritt 7.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\cot (θ) = \frac{- 1}{0}$

Schritt 7.3

Die Division durch

$0$ führt dazu, dass der Kotangens bei

$θ$ nicht definiert ist.

$\cot (θ) = Undefined$

Undefiniert

Schritt 8

Berechne den Wert des Sekans.

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Schritt 8.1

Bestimme den Wert von

$\sec (θ)$ mithilfe der Definition des Sekans.

$\sec (θ) = \frac{hyp}{adj}$

Schritt 8.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\sec (θ) = \frac{1}{- 1}$

Schritt 8.3

Dividiere

$1$ durch

$- 1$ .

$\sec (θ) = - 1$

Schritt 9

Berechne den Wert des Kosekans.

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Schritt 9.1

Bestimme den Wert von

$\csc (θ)$ mithilfe der Definition des Kosekans.

$\csc (θ) = \frac{hyp}{opp}$

Schritt 9.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\csc (θ) = \frac{1}{0}$

Schritt 9.3

Die Division durch

$0$ führt dazu, dass der Kosekans bei

$θ$ nicht definiert ist.

$\csc (θ) = Undefined$

Undefiniert

Schritt 10

Das ist die Lösung zu jedem trigonometrischen Wert.

Undefiniert