Trigonometrie Beispiele

$(1, - \sqrt{3})$

Schritt 1

Um den $\csc (θ)$ zwischen der x-Achse und der Geraden zwischen den Punkten $(0, 0)$ und $(1, - \sqrt{3})$ zu ermitteln, zeichne das Dreieck zwischen den drei Punkten $(0, 0)$ , $(1, 0)$ und $(1, - \sqrt{3})$ .

Gegenüberliegend : $- \sqrt{3}$

Ankathete : $1$

Schritt 2

Berechne die Hypotenuse unter Anwendung des Satzes von Pythagoras $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

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Schritt 2.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\sqrt{1 + {(- \sqrt{3})}^{2}}$

Schritt 2.1.2

Wende die Produktregel auf $- \sqrt{3}$ an.

$\sqrt{1 + {(- 1)}^{2} {\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 2.1.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$\sqrt{1 + 1 {\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 2.1.4

Mutltipliziere ${\sqrt{3}}^{2}$ mit $1$ .

$\sqrt{1 + {\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 2.2

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 2.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sqrt{1 + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{1 + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 2.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sqrt{1 + 3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 2.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{1 + 3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 2.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{1 + 3^{1}}$

Schritt 2.2.5

Berechne den Exponenten.

$\sqrt{1 + 3}$

Schritt 2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.1

Addiere $1$ und $3$ .

$\sqrt{4}$

Schritt 2.3.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\sqrt{2^{2}}$

Schritt 2.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$2$

Schritt 3

Aus $\csc (θ) = \frac{Hypotenuse}{Gegenüberliegend}$ folgt $\csc (θ) = \frac{2}{- \sqrt{3}}$ .

$\frac{2}{- \sqrt{3}}$

Schritt 4

Vereinfache $\csc (θ)$ .

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Schritt 4.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\csc (θ) = - \frac{2}{\sqrt{3}}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\csc (θ) = - (\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Schritt 4.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.3.1

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\csc (θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 4.3.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\csc (θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 4.3.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\csc (θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 4.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\csc (θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Schritt 4.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\csc (θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 4.3.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 4.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\csc (θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\csc (θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 4.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\csc (θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\csc (θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\csc (θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Schritt 4.3.6.5

Berechne den Exponenten.

$\csc (θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Schritt 5

Approximiere das Ergebnis.

$\csc (θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3} \approx - 1.15470053$