Trigonometrie Beispiele

$(6 \sqrt{2}, \frac{π}{4})$

Schritt 1

Benutze die Umrechnungsformeln, um von Polarkoordinaten in kartesische Koordinaten umzurechnen.

$x = r c o s θ$

$y = r s i n θ$

Schritt 2

Setze die bekannten Werte von $r = 6 \sqrt{2}$ und $θ = \frac{π}{4}$ in die Formeln ein.

$x = (6 \sqrt{2}) \cos (\frac{π}{4})$

$y = (6 \sqrt{2}) \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 3

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$x = 6 \sqrt{2} (\frac{\sqrt{2}}{2})$

$y = (6 \sqrt{2}) \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.1

Faktorisiere $2$ aus $6 \sqrt{2}$ heraus.

$x = 2 (3 \sqrt{2}) (\frac{\sqrt{2}}{2})$

$y = (6 \sqrt{2}) \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = 2 (3 \sqrt{2}) (\frac{\sqrt{2}}{2})$

$y = (6 \sqrt{2}) \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 4.3

Forme den Ausdruck um.

$x = 3 \sqrt{2} \sqrt{2}$

$y = (6 \sqrt{2}) \sin (\frac{π}{4})$

$x = 3 \sqrt{2} \sqrt{2}$

$y = (6 \sqrt{2}) \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 5

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$x = 3 (\sqrt{2} \sqrt{2})$

$y = (6 \sqrt{2}) \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = 3 {\sqrt{2}}^{1 + 1}$

$y = (6 \sqrt{2}) \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 7

Addiere $1$ und $1$ .

$x = 3 {\sqrt{2}}^{2}$

$y = (6 \sqrt{2}) \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 8

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 8.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = 3 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

$y = (6 \sqrt{2}) \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 8.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = 3 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

$y = (6 \sqrt{2}) \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 8.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x = 3 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

$y = (6 \sqrt{2}) \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 8.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = 3 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

$y = (6 \sqrt{2}) \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 8.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 3 \cdot 2$

$y = (6 \sqrt{2}) \sin (\frac{π}{4})$

$x = 3 \cdot 2$

$y = (6 \sqrt{2}) \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 8.5

Berechne den Exponenten.

$x = 3 \cdot 2$

$y = (6 \sqrt{2}) \sin (\frac{π}{4})$

$x = 3 \cdot 2$

$y = (6 \sqrt{2}) \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 9

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$x = 6$

$y = (6 \sqrt{2}) \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 10

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$x = 6$

$y = 6 \sqrt{2} (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Schritt 11

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 11.1

Faktorisiere $2$ aus $6 \sqrt{2}$ heraus.

$x = 6$

$y = 2 (3 \sqrt{2}) (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Schritt 11.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = 6$

$y = 2 (3 \sqrt{2}) (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Schritt 11.3

Forme den Ausdruck um.

$x = 6$

$y = 3 \sqrt{2} \sqrt{2}$

$x = 6$

$y = 3 \sqrt{2} \sqrt{2}$

Schritt 12

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$x = 6$

$y = 3 (\sqrt{2} \sqrt{2})$

Schritt 13

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = 6$

$y = 3 {\sqrt{2}}^{1 + 1}$

Schritt 14

Addiere $1$ und $1$ .

$x = 6$

$y = 3 {\sqrt{2}}^{2}$

Schritt 15

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 15.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = 6$

$y = 3 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Schritt 15.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = 6$

$y = 3 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Schritt 15.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x = 6$

$y = 3 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Schritt 15.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 15.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = 6$

$y = 3 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Schritt 15.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 6$

$y = 3 \cdot 2$

$x = 6$

$y = 3 \cdot 2$

Schritt 15.5

Berechne den Exponenten.

$x = 6$

$y = 3 \cdot 2$

$x = 6$

$y = 3 \cdot 2$

Schritt 16

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$x = 6$

$y = 6$

Schritt 17

Die kartesische Darstellung des Punktes mit den Polarkoordinaten $(6 \sqrt{2}, \frac{π}{4})$ ist $(6, 6)$ .

$(6, 6)$