Trigonometrie Beispiele

\frac{1 + cos (2 y)}{sin (2 y)}

$\frac{1 + \cos (2 y)}{\sin (2 y)}$

Schritt 1

Das ist die trigonometrische Form einer komplexen Zahl, wobei

$| z |$ der Betrag und

$θ$ der Winkel, der in der komplexen Ebene entsteht, ist.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Schritt 2

Der Betrag einer komplexen Zahl ist der Abstand vom Ursprung in der komplexen Zahlenebene.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , wobei

$z = a + b i$

Schritt 3

Ersetze die tatsächlichen Werte von

$a = \frac{1 + \cos (2 y)}{\sin (2 y)}$ und

$b = 0$ .

$| z | = \sqrt{0^{2} + {(\frac{1 + \cos (2 y)}{\sin (2 y)})}^{2}}$

Schritt 4

Ermittle

$| z |$ .

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Schritt 4.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt

$0$ .

$| z | = \sqrt{0 + {(\frac{1 + \cos (2 y)}{\sin (2 y)})}^{2}}$

Schritt 4.2

Wende die Produktregel auf

$\frac{1 + \cos (2 y)}{\sin (2 y)}$ an.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{{(1 + \cos (2 y))}^{2}}{\sin^{2} (2 y)}}$

Schritt 4.3

Multipliziere mit

$1$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{{(1 + \cos (2 y))}^{2}}{\sin^{2} (2 y) \cdot 1}}$

Schritt 4.4

Separiere Brüche.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{{(1 + \cos (2 y))}^{2}}{1} \cdot \frac{1}{\sin^{2} (2 y)}}$

Schritt 4.5

Wandle von

$\frac{1}{\sin^{2} (2 y)}$ nach

$\csc^{2} (2 y)$ um.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{{(1 + \cos (2 y))}^{2}}{1} \cdot \csc^{2} (2 y)}$

Schritt 4.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.6.1

Dividiere

${(1 + \cos (2 y))}^{2}$ durch

$1$ .

$| z | = \sqrt{0 + {(1 + \cos (2 y))}^{2} \csc^{2} (2 y)}$

Schritt 4.6.2

Schreibe

${(1 + \cos (2 y))}^{2}$ als

$(1 + \cos (2 y)) (1 + \cos (2 y))$ um.

$| z | = \sqrt{0 + (1 + \cos (2 y)) (1 + \cos (2 y)) \csc^{2} (2 y)}$

Schritt 4.7

Multipliziere

$(1 + \cos (2 y)) (1 + \cos (2 y))$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$| z | = \sqrt{0 + (1 (1 + \cos (2 y)) + \cos (2 y) (1 + \cos (2 y))) \csc^{2} (2 y)}$

Schritt 4.7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$| z | = \sqrt{0 + (1 \cdot 1 + 1 \cos (2 y) + \cos (2 y) (1 + \cos (2 y))) \csc^{2} (2 y)}$

Schritt 4.7.3

Wende das Distributivgesetz an.

$| z | = \sqrt{0 + (1 \cdot 1 + 1 \cos (2 y) + \cos (2 y) \cdot 1 + \cos (2 y) \cos (2 y)) \csc^{2} (2 y)}$

Schritt 4.8

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.8.1.1

Mutltipliziere

$1$ mit

$1$ .

$| z | = \sqrt{0 + (1 + 1 \cos (2 y) + \cos (2 y) \cdot 1 + \cos (2 y) \cos (2 y)) \csc^{2} (2 y)}$

Schritt 4.8.1.2

Mutltipliziere

$\cos (2 y)$ mit

$1$ .

$| z | = \sqrt{0 + (1 + \cos (2 y) + \cos (2 y) \cdot 1 + \cos (2 y) \cos (2 y)) \csc^{2} (2 y)}$

Schritt 4.8.1.3

Mutltipliziere

$\cos (2 y)$ mit

$1$ .

$| z | = \sqrt{0 + (1 + \cos (2 y) + \cos (2 y) + \cos (2 y) \cos (2 y)) \csc^{2} (2 y)}$

Schritt 4.8.1.4

Multipliziere

$\cos (2 y) \cos (2 y)$ .

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Schritt 4.8.1.4.1

Potenziere

$\cos (2 y)$ mit

$1$ .

$| z | = \sqrt{0 + (1 + \cos (2 y) + \cos (2 y) + \cos (2 y) \cos (2 y)) \csc^{2} (2 y)}$

Schritt 4.8.1.4.2

Potenziere

$\cos (2 y)$ mit

$1$ .

$| z | = \sqrt{0 + (1 + \cos (2 y) + \cos (2 y) + \cos (2 y) \cos (2 y)) \csc^{2} (2 y)}$

Schritt 4.8.1.4.3

Wende die Exponentenregel

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$| z | = \sqrt{0 + (1 + \cos (2 y) + \cos (2 y) + {\cos (2 y)}^{1 + 1}) \csc^{2} (2 y)}$

Schritt 4.8.1.4.4

Addiere

$1$ und

$1$ .

$| z | = \sqrt{0 + (1 + \cos (2 y) + \cos (2 y) + \cos^{2} (2 y)) \csc^{2} (2 y)}$

Schritt 4.8.2

Addiere

$\cos (2 y)$ und

$\cos (2 y)$ .

$| z | = \sqrt{0 + (1 + 2 \cos (2 y) + \cos^{2} (2 y)) \csc^{2} (2 y)}$

Schritt 4.9

Wende das Distributivgesetz an.

$| z | = \sqrt{0 + 1 \csc^{2} (2 y) + 2 \cos (2 y) \csc^{2} (2 y) + \cos^{2} (2 y) \csc^{2} (2 y)}$

Schritt 4.10

Vereinfache.

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Schritt 4.10.1

Mutltipliziere

$\csc^{2} (2 y)$ mit

$1$ .

$| z | = \sqrt{0 + \csc^{2} (2 y) + 2 \cos (2 y) \csc^{2} (2 y) + \cos^{2} (2 y) \csc^{2} (2 y)}$

Schritt 4.10.2

Schreibe

$\csc (2 y)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$| z | = \sqrt{0 + \csc^{2} (2 y) + 2 \cos (2 y) \csc^{2} (2 y) + \cos^{2} (2 y) {(\frac{1}{\sin (2 y)})}^{2}}$

Schritt 4.10.3

Wende die Produktregel auf

$\frac{1}{\sin (2 y)}$ an.

$| z | = \sqrt{0 + \csc^{2} (2 y) + 2 \cos (2 y) \csc^{2} (2 y) + \cos^{2} (2 y) (\frac{1^{2}}{\sin^{2} (2 y)})}$

Schritt 4.10.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$| z | = \sqrt{0 + \csc^{2} (2 y) + 2 \cos (2 y) \csc^{2} (2 y) + \cos^{2} (2 y) (\frac{1}{\sin^{2} (2 y)})}$

Schritt 4.10.5

Kombiniere

$\cos^{2} (2 y)$ und

$\frac{1}{\sin^{2} (2 y)}$ .

$| z | = \sqrt{0 + \csc^{2} (2 y) + 2 \cos (2 y) \csc^{2} (2 y) + \frac{\cos^{2} (2 y)}{\sin^{2} (2 y)}}$

Schritt 4.11

Wandle von

$\frac{\cos^{2} (2 y)}{\sin^{2} (2 y)}$ nach

$\cot^{2} (2 y)$ um.

$| z | = \sqrt{0 + \csc^{2} (2 y) + 2 \cos (2 y) \csc^{2} (2 y) + \cot^{2} (2 y)}$

Schritt 4.12

Addiere

$0$ und

$\csc^{2} (2 y) + 2 \cos (2 y) \csc^{2} (2 y) + \cot^{2} (2 y)$ .

$| z | = \sqrt{\csc^{2} (2 y) + 2 \cos (2 y) \csc^{2} (2 y) + \cot^{2} (2 y)}$

Schritt 4.13

Schreibe

$\csc^{2} (2 y) + 2 \cos (2 y) \csc^{2} (2 y) + \cot^{2} (2 y)$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 4.13.1

Forme den mittleren Term um.

$| z | = \sqrt{\csc^{2} (2 y) + 2 \csc (2 y) \cot (2 y) + 0 + \cot^{2} (2 y)}$

Schritt 4.13.2

Ordne Terme um.

$| z | = \sqrt{\csc^{2} (2 y) + 2 \csc (2 y) \cot (2 y) + \cot^{2} (2 y) + 0}$

Schritt 4.13.3

Faktorisiere die ersten drei Terme mithilfe der binomischen Formeln.

$| z | = \sqrt{{(\csc (2 y) + \cot (2 y))}^{2} + 0}$

Schritt 4.13.4

Schreibe

${(\csc (2 y) + \cot (2 y))}^{2}$ als

$(\csc (2 y) + \cot (2 y)) (\csc (2 y) + \cot (2 y))$ um.

$| z | = \sqrt{(\csc (2 y) + \cot (2 y)) (\csc (2 y) + \cot (2 y)) + 0}$

Schritt 4.13.5

Multipliziere

$(\csc (2 y) + \cot (2 y)) (\csc (2 y) + \cot (2 y))$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.13.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$| z | = \sqrt{\csc (2 y) (\csc (2 y) + \cot (2 y)) + \cot (2 y) (\csc (2 y) + \cot (2 y)) + 0}$

Schritt 4.13.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$| z | = \sqrt{\csc (2 y) \csc (2 y) + \csc (2 y) \cot (2 y) + \cot (2 y) (\csc (2 y) + \cot (2 y)) + 0}$

Schritt 4.13.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$| z | = \sqrt{\csc (2 y) \csc (2 y) + \csc (2 y) \cot (2 y) + \cot (2 y) \csc (2 y) + \cot (2 y) \cot (2 y) + 0}$

Schritt 4.13.6

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.13.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.13.6.1.1

Multipliziere

$\csc (2 y) \csc (2 y)$ .

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Schritt 4.13.6.1.1.1

Potenziere

$\csc (2 y)$ mit

$1$ .

$| z | = \sqrt{\csc (2 y) \csc (2 y) + \csc (2 y) \cot (2 y) + \cot (2 y) \csc (2 y) + \cot (2 y) \cot (2 y) + 0}$

Schritt 4.13.6.1.1.2

Potenziere

$\csc (2 y)$ mit

$1$ .

$| z | = \sqrt{\csc (2 y) \csc (2 y) + \csc (2 y) \cot (2 y) + \cot (2 y) \csc (2 y) + \cot (2 y) \cot (2 y) + 0}$

Schritt 4.13.6.1.1.3

Wende die Exponentenregel

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$| z | = \sqrt{{\csc (2 y)}^{1 + 1} + \csc (2 y) \cot (2 y) + \cot (2 y) \csc (2 y) + \cot (2 y) \cot (2 y) + 0}$

Schritt 4.13.6.1.1.4

Addiere

$1$ und

$1$ .

$| z | = \sqrt{\csc^{2} (2 y) + \csc (2 y) \cot (2 y) + \cot (2 y) \csc (2 y) + \cot (2 y) \cot (2 y) + 0}$

Schritt 4.13.6.1.2

Multipliziere

$\cot (2 y) \cot (2 y)$ .

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Schritt 4.13.6.1.2.1

Potenziere

$\cot (2 y)$ mit

$1$ .

$| z | = \sqrt{\csc^{2} (2 y) + \csc (2 y) \cot (2 y) + \cot (2 y) \csc (2 y) + \cot (2 y) \cot (2 y) + 0}$

Schritt 4.13.6.1.2.2

Potenziere

$\cot (2 y)$ mit

$1$ .

$| z | = \sqrt{\csc^{2} (2 y) + \csc (2 y) \cot (2 y) + \cot (2 y) \csc (2 y) + \cot (2 y) \cot (2 y) + 0}$

Schritt 4.13.6.1.2.3

Wende die Exponentenregel

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$| z | = \sqrt{\csc^{2} (2 y) + \csc (2 y) \cot (2 y) + \cot (2 y) \csc (2 y) + {\cot (2 y)}^{1 + 1} + 0}$

Schritt 4.13.6.1.2.4

Addiere

$1$ und

$1$ .

$| z | = \sqrt{\csc^{2} (2 y) + \csc (2 y) \cot (2 y) + \cot (2 y) \csc (2 y) + \cot^{2} (2 y) + 0}$

Schritt 4.13.6.2

Stelle die Faktoren von

$\csc (2 y) \cot (2 y)$ um.

$| z | = \sqrt{\csc^{2} (2 y) + \cot (2 y) \csc (2 y) + \cot (2 y) \csc (2 y) + \cot^{2} (2 y) + 0}$

Schritt 4.13.6.3

Addiere

$\cot (2 y) \csc (2 y)$ und

$\cot (2 y) \csc (2 y)$ .

$| z | = \sqrt{\csc^{2} (2 y) + 2 \cot (2 y) \csc (2 y) + \cot^{2} (2 y) + 0}$

Schritt 4.13.7

Addiere

$\csc^{2} (2 y) + 2 \cot (2 y) \csc (2 y) + \cot^{2} (2 y)$ und

$0$ .

$| z | = \sqrt{\csc^{2} (2 y) + 2 \cot (2 y) \csc (2 y) + \cot^{2} (2 y)}$

Schritt 4.13.8

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 4.13.8.1

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$2 \cot (2 y) \csc (2 y) = 2 \cdot \csc (2 y) \cdot \cot (2 y)$

Schritt 4.13.8.2

Schreibe das Polynom neu.

$| z | = \sqrt{\csc^{2} (2 y) + 2 \cdot \csc (2 y) \cdot \cot (2 y) + \cot^{2} (2 y)}$

Schritt 4.13.8.3

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat

$a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei

$a = \csc (2 y)$ und

$b = \cot (2 y)$ .

$| z | = \sqrt{{(\csc (2 y) + \cot (2 y))}^{2}}$

Schritt 4.14

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$| z | = \csc (2 y) + \cot (2 y)$

Schritt 5

Der Winkel des Punkts in der komplexen Zahlenebene ist der inverse Tangens des Imaginärteils geteilt durch den Realteil.

$θ = \arctan (\frac{0}{\frac{1 + \cos (2 y)}{\sin (2 y)}})$

Schritt 6

Substituiere die Werte von

$θ = \arctan (\frac{0}{\frac{1 + \cos (2 y)}{\sin (2 y)}})$ und

$| z | = \csc (2 y) + \cot (2 y)$ .

$\csc (2 y) + \cot (2 y) (\cos (\arctan (\frac{0}{\frac{1 + \cos (2 y)}{\sin (2 y)}})) + i \sin (\arctan (\frac{0}{\frac{1 + \cos (2 y)}{\sin (2 y)}})))$