Trigonometrie Beispiele

Wandle in die trigonometrische Form um (1+cos(2y))/(sin(2y))
1+cos(2y)sin(2y)
Schritt 1
Das ist die trigonometrische Form einer komplexen Zahl, wobei |z| der Betrag und θ der Winkel, der in der komplexen Ebene entsteht, ist.
z=a+bi=|z|(cos(θ)+isin(θ))
Schritt 2
Der Betrag einer komplexen Zahl ist der Abstand vom Ursprung in der komplexen Zahlenebene.
|z|=a2+b2, wobei z=a+bi
Schritt 3
Ersetze die tatsächlichen Werte von a=1+cos(2y)sin(2y) und b=0.
|z|=02+(1+cos(2y)sin(2y))2
Schritt 4
Ermittle |z|.
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Schritt 4.1
0 zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt 0.
|z|=0+(1+cos(2y)sin(2y))2
Schritt 4.2
Wende die Produktregel auf 1+cos(2y)sin(2y) an.
|z|=0+(1+cos(2y))2sin2(2y)
Schritt 4.3
Multipliziere mit 1.
|z|=0+(1+cos(2y))2sin2(2y)1
Schritt 4.4
Separiere Brüche.
|z|=0+(1+cos(2y))211sin2(2y)
Schritt 4.5
Wandle von 1sin2(2y) nach csc2(2y) um.
|z|=0+(1+cos(2y))21csc2(2y)
Schritt 4.6
Vereinfache den Ausdruck.
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Schritt 4.6.1
Dividiere (1+cos(2y))2 durch 1.
|z|=0+(1+cos(2y))2csc2(2y)
Schritt 4.6.2
Schreibe (1+cos(2y))2 als (1+cos(2y))(1+cos(2y)) um.
|z|=0+(1+cos(2y))(1+cos(2y))csc2(2y)
|z|=0+(1+cos(2y))(1+cos(2y))csc2(2y)
Schritt 4.7
Multipliziere (1+cos(2y))(1+cos(2y)) aus unter Verwendung der FOIL-Methode.
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Schritt 4.7.1
Wende das Distributivgesetz an.
|z|=0+(1(1+cos(2y))+cos(2y)(1+cos(2y)))csc2(2y)
Schritt 4.7.2
Wende das Distributivgesetz an.
|z|=0+(11+1cos(2y)+cos(2y)(1+cos(2y)))csc2(2y)
Schritt 4.7.3
Wende das Distributivgesetz an.
|z|=0+(11+1cos(2y)+cos(2y)1+cos(2y)cos(2y))csc2(2y)
|z|=0+(11+1cos(2y)+cos(2y)1+cos(2y)cos(2y))csc2(2y)
Schritt 4.8
Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.
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Schritt 4.8.1
Vereinfache jeden Term.
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Schritt 4.8.1.1
Mutltipliziere 1 mit 1.
|z|=0+(1+1cos(2y)+cos(2y)1+cos(2y)cos(2y))csc2(2y)
Schritt 4.8.1.2
Mutltipliziere cos(2y) mit 1.
|z|=0+(1+cos(2y)+cos(2y)1+cos(2y)cos(2y))csc2(2y)
Schritt 4.8.1.3
Mutltipliziere cos(2y) mit 1.
|z|=0+(1+cos(2y)+cos(2y)+cos(2y)cos(2y))csc2(2y)
Schritt 4.8.1.4
Multipliziere cos(2y)cos(2y).
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Schritt 4.8.1.4.1
Potenziere cos(2y) mit 1.
|z|=0+(1+cos(2y)+cos(2y)+cos(2y)cos(2y))csc2(2y)
Schritt 4.8.1.4.2
Potenziere cos(2y) mit 1.
|z|=0+(1+cos(2y)+cos(2y)+cos(2y)cos(2y))csc2(2y)
Schritt 4.8.1.4.3
Wende die Exponentenregel aman=am+n an, um die Exponenten zu kombinieren.
|z|=0+(1+cos(2y)+cos(2y)+cos(2y)1+1)csc2(2y)
Schritt 4.8.1.4.4
Addiere 1 und 1.
|z|=0+(1+cos(2y)+cos(2y)+cos2(2y))csc2(2y)
|z|=0+(1+cos(2y)+cos(2y)+cos2(2y))csc2(2y)
|z|=0+(1+cos(2y)+cos(2y)+cos2(2y))csc2(2y)
Schritt 4.8.2
Addiere cos(2y) und cos(2y).
|z|=0+(1+2cos(2y)+cos2(2y))csc2(2y)
|z|=0+(1+2cos(2y)+cos2(2y))csc2(2y)
Schritt 4.9
Wende das Distributivgesetz an.
|z|=0+1csc2(2y)+2cos(2y)csc2(2y)+cos2(2y)csc2(2y)
Schritt 4.10
Vereinfache.
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Schritt 4.10.1
Mutltipliziere csc2(2y) mit 1.
|z|=0+csc2(2y)+2cos(2y)csc2(2y)+cos2(2y)csc2(2y)
Schritt 4.10.2
Schreibe csc(2y) mithilfe von Sinus und Kosinus um.
|z|=0+csc2(2y)+2cos(2y)csc2(2y)+cos2(2y)(1sin(2y))2
Schritt 4.10.3
Wende die Produktregel auf 1sin(2y) an.
|z|=0+csc2(2y)+2cos(2y)csc2(2y)+cos2(2y)(12sin2(2y))
Schritt 4.10.4
Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.
|z|=0+csc2(2y)+2cos(2y)csc2(2y)+cos2(2y)(1sin2(2y))
Schritt 4.10.5
Kombiniere cos2(2y) und 1sin2(2y).
|z|=0+csc2(2y)+2cos(2y)csc2(2y)+cos2(2y)sin2(2y)
|z|=0+csc2(2y)+2cos(2y)csc2(2y)+cos2(2y)sin2(2y)
Schritt 4.11
Wandle von cos2(2y)sin2(2y) nach cot2(2y) um.
|z|=0+csc2(2y)+2cos(2y)csc2(2y)+cot2(2y)
Schritt 4.12
Addiere 0 und csc2(2y)+2cos(2y)csc2(2y)+cot2(2y).
|z|=csc2(2y)+2cos(2y)csc2(2y)+cot2(2y)
Schritt 4.13
Schreibe csc2(2y)+2cos(2y)csc2(2y)+cot2(2y) in eine faktorisierte Form um.
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Schritt 4.13.1
Forme den mittleren Term um.
|z|=csc2(2y)+2csc(2y)cot(2y)+0+cot2(2y)
Schritt 4.13.2
Ordne Terme um.
|z|=csc2(2y)+2csc(2y)cot(2y)+cot2(2y)+0
Schritt 4.13.3
Faktorisiere die ersten drei Terme mithilfe der binomischen Formeln.
|z|=(csc(2y)+cot(2y))2+0
Schritt 4.13.4
Schreibe (csc(2y)+cot(2y))2 als (csc(2y)+cot(2y))(csc(2y)+cot(2y)) um.
|z|=(csc(2y)+cot(2y))(csc(2y)+cot(2y))+0
Schritt 4.13.5
Multipliziere (csc(2y)+cot(2y))(csc(2y)+cot(2y)) aus unter Verwendung der FOIL-Methode.
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Schritt 4.13.5.1
Wende das Distributivgesetz an.
|z|=csc(2y)(csc(2y)+cot(2y))+cot(2y)(csc(2y)+cot(2y))+0
Schritt 4.13.5.2
Wende das Distributivgesetz an.
|z|=csc(2y)csc(2y)+csc(2y)cot(2y)+cot(2y)(csc(2y)+cot(2y))+0
Schritt 4.13.5.3
Wende das Distributivgesetz an.
|z|=csc(2y)csc(2y)+csc(2y)cot(2y)+cot(2y)csc(2y)+cot(2y)cot(2y)+0
|z|=csc(2y)csc(2y)+csc(2y)cot(2y)+cot(2y)csc(2y)+cot(2y)cot(2y)+0
Schritt 4.13.6
Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.
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Schritt 4.13.6.1
Vereinfache jeden Term.
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Schritt 4.13.6.1.1
Multipliziere csc(2y)csc(2y).
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Schritt 4.13.6.1.1.1
Potenziere csc(2y) mit 1.
|z|=csc(2y)csc(2y)+csc(2y)cot(2y)+cot(2y)csc(2y)+cot(2y)cot(2y)+0
Schritt 4.13.6.1.1.2
Potenziere csc(2y) mit 1.
|z|=csc(2y)csc(2y)+csc(2y)cot(2y)+cot(2y)csc(2y)+cot(2y)cot(2y)+0
Schritt 4.13.6.1.1.3
Wende die Exponentenregel aman=am+n an, um die Exponenten zu kombinieren.
|z|=csc(2y)1+1+csc(2y)cot(2y)+cot(2y)csc(2y)+cot(2y)cot(2y)+0
Schritt 4.13.6.1.1.4
Addiere 1 und 1.
|z|=csc2(2y)+csc(2y)cot(2y)+cot(2y)csc(2y)+cot(2y)cot(2y)+0
|z|=csc2(2y)+csc(2y)cot(2y)+cot(2y)csc(2y)+cot(2y)cot(2y)+0
Schritt 4.13.6.1.2
Multipliziere cot(2y)cot(2y).
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Schritt 4.13.6.1.2.1
Potenziere cot(2y) mit 1.
|z|=csc2(2y)+csc(2y)cot(2y)+cot(2y)csc(2y)+cot(2y)cot(2y)+0
Schritt 4.13.6.1.2.2
Potenziere cot(2y) mit 1.
|z|=csc2(2y)+csc(2y)cot(2y)+cot(2y)csc(2y)+cot(2y)cot(2y)+0
Schritt 4.13.6.1.2.3
Wende die Exponentenregel aman=am+n an, um die Exponenten zu kombinieren.
|z|=csc2(2y)+csc(2y)cot(2y)+cot(2y)csc(2y)+cot(2y)1+1+0
Schritt 4.13.6.1.2.4
Addiere 1 und 1.
|z|=csc2(2y)+csc(2y)cot(2y)+cot(2y)csc(2y)+cot2(2y)+0
|z|=csc2(2y)+csc(2y)cot(2y)+cot(2y)csc(2y)+cot2(2y)+0
|z|=csc2(2y)+csc(2y)cot(2y)+cot(2y)csc(2y)+cot2(2y)+0
Schritt 4.13.6.2
Stelle die Faktoren von csc(2y)cot(2y) um.
|z|=csc2(2y)+cot(2y)csc(2y)+cot(2y)csc(2y)+cot2(2y)+0
Schritt 4.13.6.3
Addiere cot(2y)csc(2y) und cot(2y)csc(2y).
|z|=csc2(2y)+2cot(2y)csc(2y)+cot2(2y)+0
|z|=csc2(2y)+2cot(2y)csc(2y)+cot2(2y)+0
Schritt 4.13.7
Addiere csc2(2y)+2cot(2y)csc(2y)+cot2(2y) und 0.
|z|=csc2(2y)+2cot(2y)csc(2y)+cot2(2y)
Schritt 4.13.8
Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.
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Schritt 4.13.8.1
Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.
2cot(2y)csc(2y)=2csc(2y)cot(2y)
Schritt 4.13.8.2
Schreibe das Polynom neu.
|z|=csc2(2y)+2csc(2y)cot(2y)+cot2(2y)
Schritt 4.13.8.3
Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat a2+2ab+b2=(a+b)2, wobei a=csc(2y) und b=cot(2y).
|z|=(csc(2y)+cot(2y))2
|z|=(csc(2y)+cot(2y))2
|z|=(csc(2y)+cot(2y))2
Schritt 4.14
Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.
|z|=csc(2y)+cot(2y)
|z|=csc(2y)+cot(2y)
Schritt 5
Der Winkel des Punkts in der komplexen Zahlenebene ist der inverse Tangens des Imaginärteils geteilt durch den Realteil.
θ=arctan(01+cos(2y)sin(2y))
Schritt 6
Substituiere die Werte von θ=arctan(01+cos(2y)sin(2y)) und |z|=csc(2y)+cot(2y).
csc(2y)+cot(2y)(cos(arctan(01+cos(2y)sin(2y)))+isin(arctan(01+cos(2y)sin(2y))))
 [x2  12  π  xdx ]