Trigonometrie Beispiele

$(\frac{3 \sqrt{10}}{10}, - \frac{\sqrt{10}}{10})$

Schritt 1

Um den $\cos (θ)$ zwischen der x-Achse und der Geraden zwischen den Punkten $(0, 0)$ und $(\frac{3 \sqrt{10}}{10}, - \frac{\sqrt{10}}{10})$ zu ermitteln, zeichne das Dreieck zwischen den drei Punkten $(0, 0)$ , $(\frac{3 \sqrt{10}}{10}, 0)$ und $(\frac{3 \sqrt{10}}{10}, - \frac{\sqrt{10}}{10})$ .

Gegenüberliegend : $- \frac{\sqrt{10}}{10}$

Ankathete : $\frac{3 \sqrt{10}}{10}$

Schritt 2

Berechne die Hypotenuse unter Anwendung des Satzes von Pythagoras $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

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Schritt 2.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 2.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{3 \sqrt{10}}{10}$ an.

$\sqrt{\frac{{(3 \sqrt{10})}^{2}}{10^{2}} + {(- \frac{\sqrt{10}}{10})}^{2}}$

Schritt 2.1.2

Wende die Produktregel auf $3 \sqrt{10}$ an.

$\sqrt{\frac{3^{2} {\sqrt{10}}^{2}}{10^{2}} + {(- \frac{\sqrt{10}}{10})}^{2}}$

Schritt 2.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{9 {\sqrt{10}}^{2}}{10^{2}} + {(- \frac{\sqrt{10}}{10})}^{2}}$

Schritt 2.2.2

Schreibe ${\sqrt{10}}^{2}$ als $10$ um.

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Schritt 2.2.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{10}$ als $10^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sqrt{\frac{9 {(10^{\frac{1}{2}})}^{2}}{10^{2}} + {(- \frac{\sqrt{10}}{10})}^{2}}$

Schritt 2.2.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{9 \cdot 10^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{10^{2}} + {(- \frac{\sqrt{10}}{10})}^{2}}$

Schritt 2.2.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sqrt{\frac{9 \cdot 10^{\frac{2}{2}}}{10^{2}} + {(- \frac{\sqrt{10}}{10})}^{2}}$

Schritt 2.2.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{\frac{9 \cdot 10^{\frac{2}{2}}}{10^{2}} + {(- \frac{\sqrt{10}}{10})}^{2}}$

Schritt 2.2.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{\frac{9 \cdot 10^{1}}{10^{2}} + {(- \frac{\sqrt{10}}{10})}^{2}}$

Schritt 2.2.2.5

Berechne den Exponenten.

$\sqrt{\frac{9 \cdot 10}{10^{2}} + {(- \frac{\sqrt{10}}{10})}^{2}}$

Schritt 2.3

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.1

Potenziere $10$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{9 \cdot 10}{100} + {(- \frac{\sqrt{10}}{10})}^{2}}$

Schritt 2.3.2

Mutltipliziere $9$ mit $10$ .

$\sqrt{\frac{90}{100} + {(- \frac{\sqrt{10}}{10})}^{2}}$

Schritt 2.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $90$ und $100$ .

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Schritt 2.3.3.1

Faktorisiere $10$ aus $90$ heraus.

$\sqrt{\frac{10 (9)}{100} + {(- \frac{\sqrt{10}}{10})}^{2}}$

Schritt 2.3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.3.2.1

Faktorisiere $10$ aus $100$ heraus.

$\sqrt{\frac{10 \cdot 9}{10 \cdot 10} + {(- \frac{\sqrt{10}}{10})}^{2}}$

Schritt 2.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{\frac{10 \cdot 9}{10 \cdot 10} + {(- \frac{\sqrt{10}}{10})}^{2}}$

Schritt 2.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{\frac{9}{10} + {(- \frac{\sqrt{10}}{10})}^{2}}$

Schritt 2.4

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 2.4.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{\sqrt{10}}{10}$ an.

$\sqrt{\frac{9}{10} + {(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{10}}{10})}^{2}}$

Schritt 2.4.2

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{10}}{10}$ an.

$\sqrt{\frac{9}{10} + {(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt{10}}^{2}}{10^{2}}}$

Schritt 2.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.5.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{9}{10} + 1 \frac{{\sqrt{10}}^{2}}{10^{2}}}$

Schritt 2.5.2

Mutltipliziere $\frac{{\sqrt{10}}^{2}}{10^{2}}$ mit $1$ .

$\sqrt{\frac{9}{10} + \frac{{\sqrt{10}}^{2}}{10^{2}}}$

Schritt 2.6

Schreibe ${\sqrt{10}}^{2}$ als $10$ um.

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Schritt 2.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{10}$ als $10^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sqrt{\frac{9}{10} + \frac{{(10^{\frac{1}{2}})}^{2}}{10^{2}}}$

Schritt 2.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{9}{10} + \frac{10^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{10^{2}}}$

Schritt 2.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sqrt{\frac{9}{10} + \frac{10^{\frac{2}{2}}}{10^{2}}}$

Schritt 2.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{\frac{9}{10} + \frac{10^{\frac{2}{2}}}{10^{2}}}$

Schritt 2.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{\frac{9}{10} + \frac{10^{1}}{10^{2}}}$

Schritt 2.6.5

Berechne den Exponenten.

$\sqrt{\frac{9}{10} + \frac{10}{10^{2}}}$

Schritt 2.7

Potenziere $10$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{9}{10} + \frac{10}{100}}$

Schritt 2.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $10$ und $100$ .

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Schritt 2.8.1

Faktorisiere $10$ aus $10$ heraus.

$\sqrt{\frac{9}{10} + \frac{10 (1)}{100}}$

Schritt 2.8.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.8.2.1

Faktorisiere $10$ aus $100$ heraus.

$\sqrt{\frac{9}{10} + \frac{10 \cdot 1}{10 \cdot 10}}$

Schritt 2.8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{\frac{9}{10} + \frac{10 \cdot 1}{10 \cdot 10}}$

Schritt 2.8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{\frac{9}{10} + \frac{1}{10}}$

Schritt 2.9

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.9.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{9 + 1}{10}}$

Schritt 2.9.2

Addiere $9$ und $1$ .

$\sqrt{\frac{10}{10}}$

Schritt 2.9.3

Dividiere $10$ durch $10$ .

$\sqrt{1}$

Schritt 2.9.4

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$1$

Schritt 3

Aus $\cos (θ) = \frac{Ankathete}{Hypotenuse}$ folgt $\cos (θ) = \frac{\frac{3 \sqrt{10}}{10}}{1}$ .

$\frac{\frac{3 \sqrt{10}}{10}}{1}$

Schritt 4

Dividiere $\frac{3 \sqrt{10}}{10}$ durch $1$ .

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{10}}{10}$

Schritt 5

Approximiere das Ergebnis.

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{10}}{10} \approx 0.94868329$