Trigonometrie Beispiele

$\sin (θ) = \frac{2}{3}$ , $\tan (θ) < 0$

Schritt 1

The tangent function is negative in the second and fourth quadrants. The sine function is positive in the first and second quadrants. The set of solutions for $θ$ are limited to the second quadrant since that is the only quadrant found in both sets.

Die Lösung liegt im zweiten Quadranten.

Schritt 2

Benutze die Definition des Sinus, um die bekannten Seiten des rechtwinkligen Dreiecks im Einheitskreis zu ermitteln. Der Quadrant bestimmt das Vorzeichen jedes Wertes.

$\sin (θ) = \frac{gegenüber}{Hypotenuse}$

Schritt 3

Berechne die Ankathete des Dreiecks im Einheitskreis. Da die Hypotenuse und die Gegenkathete bekannt sind, kannst du den Satz des Pythagoras anwenden, um die verbleibende Seite zu berechnen.

$Ankathete = - \sqrt{{Hypotenuse}^{2} - {gegenüber}^{2}}$

Schritt 4

Ersetze die bekannten Werte in der Gleichung.

$Ankathete = - \sqrt{{(3)}^{2} - {(2)}^{2}}$

Schritt 5

Vereinfache den Ausdruck unter dem Wurzelzeichen.

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Schritt 5.1

Kehre das Vorzeichen von $\sqrt{{(3)}^{2} - {(2)}^{2}}$ um.

Ankathete $= - \sqrt{{(3)}^{2} - {(2)}^{2}}$

Schritt 5.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

Ankathete $= - \sqrt{9 - {(2)}^{2}}$

Schritt 5.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

Ankathete $= - \sqrt{9 - 1 \cdot 4}$

Schritt 5.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

Ankathete $= - \sqrt{9 - 4}$

Schritt 5.5

Subtrahiere $4$ von $9$ .

Ankathete $= - \sqrt{5}$

Schritt 6

Berechne den Wert des Kosinus.

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Schritt 6.1

Bestimme den Wert von $\cos (θ)$ mithilfe der Definition des Kosinus.

$\cos (θ) = \frac{adj}{hyp}$

Schritt 6.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\cos (θ) = \frac{- \sqrt{5}}{3}$

Schritt 6.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{3}$

Schritt 7

Bestimme den Wert des Tangens.

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Schritt 7.1

Benutze die Definition des Tangens, um den Wert von $\tan (θ)$ zu ermitteln.

$\tan (θ) = \frac{opp}{adj}$

Schritt 7.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\tan (θ) = \frac{2}{- \sqrt{5}}$

Schritt 7.3

Vereinfache den Wert von $\tan (θ)$ .

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Schritt 7.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\tan (θ) = - \frac{2}{\sqrt{5}}$

Schritt 7.3.2

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{5}}$ mit $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\tan (θ) = - (\frac{2}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}})$

Schritt 7.3.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{5}}$ mit $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\tan (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Schritt 7.3.3.2

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$\tan (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Schritt 7.3.3.3

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$\tan (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Schritt 7.3.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\tan (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Schritt 7.3.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\tan (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Schritt 7.3.3.6

Schreibe ${\sqrt{5}}^{2}$ als $5$ um.

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Schritt 7.3.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5}$ als $5^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\tan (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 7.3.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\tan (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 7.3.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\tan (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 7.3.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.3.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\tan (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 7.3.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\tan (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Schritt 7.3.3.6.5

Berechne den Exponenten.

$\tan (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Schritt 8

Berechne den Wert des Kotangens.

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Schritt 8.1

Bestimme den Wert von $\cot (θ)$ mithilfe der Definition des Kotangens.

$\cot (θ) = \frac{adj}{opp}$

Schritt 8.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\cot (θ) = \frac{- \sqrt{5}}{2}$

Schritt 8.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\cot (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{2}$

Schritt 9

Berechne den Wert des Sekans.

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Schritt 9.1

Bestimme den Wert von $\sec (θ)$ mithilfe der Definition des Sekans.

$\sec (θ) = \frac{hyp}{adj}$

Schritt 9.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\sec (θ) = \frac{3}{- \sqrt{5}}$

Schritt 9.3

Vereinfache den Wert von $\sec (θ)$ .

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Schritt 9.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\sec (θ) = - \frac{3}{\sqrt{5}}$

Schritt 9.3.2

Mutltipliziere $\frac{3}{\sqrt{5}}$ mit $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\sec (θ) = - (\frac{3}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}})$

Schritt 9.3.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{3}{\sqrt{5}}$ mit $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\sec (θ) = - \frac{3 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Schritt 9.3.3.2

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$\sec (θ) = - \frac{3 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Schritt 9.3.3.3

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$\sec (θ) = - \frac{3 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Schritt 9.3.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sec (θ) = - \frac{3 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Schritt 9.3.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\sec (θ) = - \frac{3 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Schritt 9.3.3.6

Schreibe ${\sqrt{5}}^{2}$ als $5$ um.

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Schritt 9.3.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5}$ als $5^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sec (θ) = - \frac{3 \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 9.3.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sec (θ) = - \frac{3 \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 9.3.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sec (θ) = - \frac{3 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 9.3.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.3.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sec (θ) = - \frac{3 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 9.3.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sec (θ) = - \frac{3 \sqrt{5}}{5}$

Schritt 9.3.3.6.5

Berechne den Exponenten.

$\sec (θ) = - \frac{3 \sqrt{5}}{5}$

Schritt 10

Berechne den Wert des Kosekans.

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Schritt 10.1

Bestimme den Wert von $\csc (θ)$ mithilfe der Definition des Kosekans.

$\csc (θ) = \frac{hyp}{opp}$

Schritt 10.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\csc (θ) = \frac{3}{2}$

Schritt 11

Das ist die Lösung zu jedem trigonometrischen Wert.

$\sin (θ) = \frac{2}{3}$

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{3}$

$\tan (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

$\cot (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{2}$

$\sec (θ) = - \frac{3 \sqrt{5}}{5}$

$\csc (θ) = \frac{3}{2}$