Trigonometrie Beispiele

$3 \sin^{2} (x) - \sin (x) - 1 = 0$

Schritt 1

Ersetze $\sin (x)$ durch $u$ .

$3 {(u)}^{2} - (u) - 1 = 0$

Schritt 2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 3

Setze die Werte $a = 3$ , $b = - 1$ und $c = - 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $u$ auf.

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot - 1)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 3 \cdot - 1}}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 3 \cdot - 1$ .

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Schritt 4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 12 \cdot - 1}}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.1.2.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $- 1$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 12}}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.1.3

Addiere $1$ und $12$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{6}$

Schritt 5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 3 \cdot - 1}}{2 \cdot 3}$

Schritt 5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 3 \cdot - 1$ .

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Schritt 5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 12 \cdot - 1}}{2 \cdot 3}$

Schritt 5.1.2.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $- 1$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 12}}{2 \cdot 3}$

Schritt 5.1.3

Addiere $1$ und $12$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{2 \cdot 3}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{6}$

Schritt 5.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$u = \frac{1 + \sqrt{13}}{6}$

Schritt 6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 3 \cdot - 1}}{2 \cdot 3}$

Schritt 6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 3 \cdot - 1$ .

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Schritt 6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 12 \cdot - 1}}{2 \cdot 3}$

Schritt 6.1.2.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $- 1$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 12}}{2 \cdot 3}$

Schritt 6.1.3

Addiere $1$ und $12$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{2 \cdot 3}$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{6}$

Schritt 6.3

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$u = \frac{1 - \sqrt{13}}{6}$

Schritt 7

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$u = \frac{1 + \sqrt{13}}{6}, \frac{1 - \sqrt{13}}{6}$

Schritt 8

Ersetze $u$ durch $\sin (x)$ .

$\sin (x) = \frac{1 + \sqrt{13}}{6}, \frac{1 - \sqrt{13}}{6}$

Schritt 9

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $x$ aufzulösen.

$\sin (x) = \frac{1 + \sqrt{13}}{6}$

$\sin (x) = \frac{1 - \sqrt{13}}{6}$

Schritt 10

Löse in $\sin (x) = \frac{1 + \sqrt{13}}{6}$ nach $x$ auf.

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Schritt 10.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (\frac{1 + \sqrt{13}}{6})$

Schritt 10.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 10.2.1

Berechne $\arcsin (\frac{1 + \sqrt{13}}{6})$ .

$x = 0.87507547$

Schritt 10.3

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$x = (3.14159265) - 0.87507547$

Schritt 10.4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 10.4.1

Entferne die Klammern.

$x = 3.14159265 - 0.87507547$

Schritt 10.4.2

Entferne die Klammern.

$x = (3.14159265) - 0.87507547$

Schritt 10.4.3

Subtrahiere $0.87507547$ von $3.14159265$ .

$x = 2.26651717$

Schritt 10.5

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

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Schritt 10.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 10.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 10.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 10.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 10.6

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 0.87507547 + 2 π n, 2.26651717 + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 11

Löse in $\sin (x) = \frac{1 - \sqrt{13}}{6}$ nach $x$ auf.

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Schritt 11.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (\frac{1 - \sqrt{13}}{6})$

Schritt 11.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 11.2.1

Berechne $\arcsin (\frac{1 - \sqrt{13}}{6})$ .

$x = - 0.44921499$

Schritt 11.3

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$x = (3.14159265) + 0.44921499$

Schritt 11.4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 11.4.1

Entferne die Klammern.

$x = 3.14159265 + 0.44921499$

Schritt 11.4.2

Entferne die Klammern.

$x = (3.14159265) + 0.44921499$

Schritt 11.4.3

Addiere $3.14159265$ und $0.44921499$ .

$x = 3.59080764$

Schritt 11.5

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

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Schritt 11.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 11.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 11.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 11.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 11.6

Addiere $2 π$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 11.6.1

Addiere $2 π$ zu $- 0.44921499$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- 0.44921499 + 2 π$

Schritt 11.6.2

Subtrahiere $0.44921499$ von $2 π$ .

$5.83397031$

Schritt 11.6.3

Liste die neuen Winkel auf.

$x = 5.83397031$

Schritt 11.7

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 3.59080764 + 2 π n, 5.83397031 + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 12

Liste alle Lösungen auf.

$x = 0.87507547 + 2 π n, 2.26651717 + 2 π n, 3.59080764 + 2 π n, 5.83397031 + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$