Trigonometrie Beispiele

$\csc^{2} (θ) - 9 \csc (θ) + 20 = 0$

Schritt 1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Es sei $u = \csc (θ)$ . Ersetze $u$ für alle $\csc (θ)$ .

$u^{2} - 9 u + 20 = 0$

Schritt 1.2

Faktorisiere $u^{2} - 9 u + 20$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $20$ und deren Summe $- 9$ ist.

$- 5, - 4$

Schritt 1.2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(u - 5) (u - 4) = 0$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $\csc (θ)$ .

$(\csc (θ) - 5) (\csc (θ) - 4) = 0$

Schritt 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$\csc (θ) - 5 = 0$

$\csc (θ) - 4 = 0$

Schritt 3

Setze $\csc (θ) - 5$ gleich $0$ und löse nach $θ$ auf.

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Schritt 3.1

Setze $\csc (θ) - 5$ gleich $0$ .

$\csc (θ) - 5 = 0$

Schritt 3.2

Löse $\csc (θ) - 5 = 0$ nach $θ$ auf.

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Schritt 3.2.1

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\csc (θ) = 5$

Schritt 3.2.2

Wende den inversen Kosekans auf beide Seiten der Gleichung an, um $θ$ aus dem Kosekans herauszuziehen.

$θ = arccsc (5)$

Schritt 3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.3.1

Berechne $arccsc (5)$ .

$θ = 11.53695903$

Schritt 3.2.4

Die Kosekansfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $180$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$θ = 180 - 11.53695903$

Schritt 3.2.5

Subtrahiere $11.53695903$ von $180$ .

$θ = 168.46304096$

Schritt 3.2.6

Ermittele die Periode von $\csc (θ)$ .

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Schritt 3.2.6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{360}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{360}{| b |}$

Schritt 3.2.6.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{360}{| 1 |}$

Schritt 3.2.6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{360}{1}$

Schritt 3.2.6.4

Dividiere $360$ durch $1$ .

$360$

Schritt 3.2.7

Die Periode der $\csc (θ)$ -Funktion ist $360$ , sodass sich die Werte alle $360$ Grad in beide Richtungen wiederholen werden.

$θ = 11.53695903 + 360 n, 168.46304096 + 360 n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 4

Setze $\csc (θ) - 4$ gleich $0$ und löse nach $θ$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $\csc (θ) - 4$ gleich $0$ .

$\csc (θ) - 4 = 0$

Schritt 4.2

Löse $\csc (θ) - 4 = 0$ nach $θ$ auf.

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Schritt 4.2.1

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\csc (θ) = 4$

Schritt 4.2.2

Wende den inversen Kosekans auf beide Seiten der Gleichung an, um $θ$ aus dem Kosekans herauszuziehen.

$θ = arccsc (4)$

Schritt 4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.3.1

Berechne $arccsc (4)$ .

$θ = 14.47751218$

Schritt 4.2.4

Die Kosekansfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $180$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$θ = 180 - 14.47751218$

Schritt 4.2.5

Subtrahiere $14.47751218$ von $180$ .

$θ = 165.52248781$

Schritt 4.2.6

Ermittele die Periode von $\csc (θ)$ .

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Schritt 4.2.6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{360}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{360}{| b |}$

Schritt 4.2.6.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{360}{| 1 |}$

Schritt 4.2.6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{360}{1}$

Schritt 4.2.6.4

Dividiere $360$ durch $1$ .

$360$

Schritt 4.2.7

Die Periode der $\csc (θ)$ -Funktion ist $360$ , sodass sich die Werte alle $360$ Grad in beide Richtungen wiederholen werden.

$θ = 14.47751218 + 360 n, 165.52248781 + 360 n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(\csc (θ) - 5) (\csc (θ) - 4) = 0$ wahr machen.

$θ = 11.53695903 + 360 n, 168.46304096 + 360 n, 14.47751218 + 360 n, 165.52248781 + 360 n$ , für jede Ganzzahl $n$