Trigonometrie Beispiele

$\sqrt{3} - \tan (3 θ) = 0$

Schritt 1

Subtrahiere $\sqrt{3}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \tan (3 θ) = - \sqrt{3}$

Schritt 2

Teile jeden Ausdruck in $- \tan (3 θ) = - \sqrt{3}$ durch $- 1$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Teile jeden Ausdruck in $- \tan (3 θ) = - \sqrt{3}$ durch $- 1$ .

$\frac{- \tan (3 θ)}{- 1} = \frac{- \sqrt{3}}{- 1}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\tan (3 θ)}{1} = \frac{- \sqrt{3}}{- 1}$

Schritt 2.2.2

Dividiere $\tan (3 θ)$ durch $1$ .

$\tan (3 θ) = \frac{- \sqrt{3}}{- 1}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\tan (3 θ) = \frac{\sqrt{3}}{1}$

Schritt 2.3.2

Dividiere $\sqrt{3}$ durch $1$ .

$\tan (3 θ) = \sqrt{3}$

Schritt 3

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $θ$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$3 θ = \arctan (\sqrt{3})$

Schritt 4

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Der genau Wert von $\arctan (\sqrt{3})$ ist $\frac{π}{3}$ .

$3 θ = \frac{π}{3}$

Schritt 5

Teile jeden Ausdruck in $3 θ = \frac{π}{3}$ durch $3$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Teile jeden Ausdruck in $3 θ = \frac{π}{3}$ durch $3$ .

$\frac{3 θ}{3} = \frac{\frac{π}{3}}{3}$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 θ}{3} = \frac{\frac{π}{3}}{3}$

Schritt 5.2.1.2

Dividiere $θ$ durch $1$ .

$θ = \frac{\frac{π}{3}}{3}$

Schritt 5.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$θ = \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{3}$

Schritt 5.3.2

Multipliziere $\frac{π}{3} \cdot \frac{1}{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{π}{3}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$θ = \frac{π}{3 \cdot 3}$

Schritt 5.3.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$θ = \frac{π}{9}$

Schritt 6

Die Tangensfunktion ist im ersten und dritten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu finden, addiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu ermitteln.

$3 θ = π + \frac{π}{3}$

Schritt 7

Löse nach $θ$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$3 θ = π \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3}$

Schritt 7.1.2

Kombiniere $π$ und $\frac{3}{3}$ .

$3 θ = \frac{π \cdot 3}{3} + \frac{π}{3}$

Schritt 7.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$3 θ = \frac{π \cdot 3 + π}{3}$

Schritt 7.1.4

Addiere $π \cdot 3$ und $π$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1.4.1

Stelle $π$ und $3$ um.

$3 θ = \frac{3 \cdot π + π}{3}$

Schritt 7.1.4.2

Addiere $3 \cdot π$ und $π$ .

$3 θ = \frac{4 \cdot π}{3}$

Schritt 7.2

Teile jeden Ausdruck in $3 θ = \frac{4 \cdot π}{3}$ durch $3$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 θ = \frac{4 \cdot π}{3}$ durch $3$ .

$\frac{3 θ}{3} = \frac{\frac{4 \cdot π}{3}}{3}$

Schritt 7.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 θ}{3} = \frac{\frac{4 \cdot π}{3}}{3}$

Schritt 7.2.2.1.2

Dividiere $θ$ durch $1$ .

$θ = \frac{\frac{4 \cdot π}{3}}{3}$

Schritt 7.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$θ = \frac{4 \cdot π}{3} \cdot \frac{1}{3}$

Schritt 7.2.3.2

Multipliziere $\frac{4 π}{3} \cdot \frac{1}{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{4 π}{3}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$θ = \frac{4 π}{3 \cdot 3}$

Schritt 7.2.3.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$θ = \frac{4 π}{9}$

Schritt 8

Ermittele die Periode von $\tan (3 θ)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 8.2

Ersetze $b$ durch $3$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 3 |}$

Schritt 8.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $3$ ist $3$ .

$\frac{π}{3}$

Schritt 9

Die Periode der Funktion $\tan (3 θ)$ ist $\frac{π}{3}$ , d. h., Werte werden sich alle $\frac{π}{3}$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$θ = \frac{π}{9} + \frac{π n}{3}, \frac{4 π}{9} + \frac{π n}{3}$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 10

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$θ = \frac{π}{9} + \frac{π n}{3}$ , für jede Ganzzahl $n$