Trigonometrie Beispiele

$(\frac{1}{5}, - \frac{2 \sqrt{6}}{5})$

Schritt 1

Um den $\csc (θ)$ zwischen der x-Achse und der Geraden zwischen den Punkten $(0, 0)$ und $(\frac{1}{5}, - \frac{2 \sqrt{6}}{5})$ zu ermitteln, zeichne das Dreieck zwischen den drei Punkten $(0, 0)$ , $(\frac{1}{5}, 0)$ und $(\frac{1}{5}, - \frac{2 \sqrt{6}}{5})$ .

Gegenüberliegend : $- \frac{2 \sqrt{6}}{5}$

Ankathete : $\frac{1}{5}$

Schritt 2

Berechne die Hypotenuse unter Anwendung des Satzes von Pythagoras $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

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Schritt 2.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{5}$ an.

$\sqrt{\frac{1^{2}}{5^{2}} + {(- \frac{2 \sqrt{6}}{5})}^{2}}$

Schritt 2.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\sqrt{\frac{1}{5^{2}} + {(- \frac{2 \sqrt{6}}{5})}^{2}}$

Schritt 2.3

Potenziere $5$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{25} + {(- \frac{2 \sqrt{6}}{5})}^{2}}$

Schritt 2.4

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 2.4.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{2 \sqrt{6}}{5}$ an.

$\sqrt{\frac{1}{25} + {(- 1)}^{2} {(\frac{2 \sqrt{6}}{5})}^{2}}$

Schritt 2.4.2

Wende die Produktregel auf $\frac{2 \sqrt{6}}{5}$ an.

$\sqrt{\frac{1}{25} + {(- 1)}^{2} \frac{{(2 \sqrt{6})}^{2}}{5^{2}}}$

Schritt 2.4.3

Wende die Produktregel auf $2 \sqrt{6}$ an.

$\sqrt{\frac{1}{25} + {(- 1)}^{2} \frac{2^{2} {\sqrt{6}}^{2}}{5^{2}}}$

Schritt 2.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.5.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{25} + 1 \frac{2^{2} {\sqrt{6}}^{2}}{5^{2}}}$

Schritt 2.5.2

Mutltipliziere $\frac{2^{2} {\sqrt{6}}^{2}}{5^{2}}$ mit $1$ .

$\sqrt{\frac{1}{25} + \frac{2^{2} {\sqrt{6}}^{2}}{5^{2}}}$

Schritt 2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.6.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{25} + \frac{4 {\sqrt{6}}^{2}}{5^{2}}}$

Schritt 2.6.2

Schreibe ${\sqrt{6}}^{2}$ als $6$ um.

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Schritt 2.6.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{6}$ als $6^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sqrt{\frac{1}{25} + \frac{4 {(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}{5^{2}}}$

Schritt 2.6.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{1}{25} + \frac{4 \cdot 6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{5^{2}}}$

Schritt 2.6.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{25} + \frac{4 \cdot 6^{\frac{2}{2}}}{5^{2}}}$

Schritt 2.6.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.6.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{\frac{1}{25} + \frac{4 \cdot 6^{\frac{2}{2}}}{5^{2}}}$

Schritt 2.6.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{\frac{1}{25} + \frac{4 \cdot 6^{1}}{5^{2}}}$

Schritt 2.6.2.5

Berechne den Exponenten.

$\sqrt{\frac{1}{25} + \frac{4 \cdot 6}{5^{2}}}$

Schritt 2.7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.7.1

Potenziere $5$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{25} + \frac{4 \cdot 6}{25}}$

Schritt 2.7.2

Mutltipliziere $4$ mit $6$ .

$\sqrt{\frac{1}{25} + \frac{24}{25}}$

Schritt 2.7.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{1 + 24}{25}}$

Schritt 2.7.4

Addiere $1$ und $24$ .

$\sqrt{\frac{25}{25}}$

Schritt 2.7.5

Dividiere $25$ durch $25$ .

$\sqrt{1}$

Schritt 2.7.6

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$1$

Schritt 3

Aus $\csc (θ) = \frac{Hypotenuse}{Gegenüberliegend}$ folgt $\csc (θ) = \frac{1}{- \frac{2 \sqrt{6}}{5}}$ .

$\frac{1}{- \frac{2 \sqrt{6}}{5}}$

Schritt 4

Vereinfache $\csc (θ)$ .

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Schritt 4.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1$ und $- 1$ .

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Schritt 4.1.1

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$\csc (θ) = \frac{- 1 \cdot - 1}{- \frac{2 \sqrt{6}}{5}}$

Schritt 4.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\csc (θ) = - \frac{1}{\frac{2 \sqrt{6}}{5}}$

Schritt 4.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\csc (θ) = - (1 (\frac{5}{2 \sqrt{6}}))$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $\frac{5}{2 \sqrt{6}}$ mit $1$ .

$\csc (θ) = - \frac{5}{2 \sqrt{6}}$

Schritt 4.4

Mutltipliziere $\frac{5}{2 \sqrt{6}}$ mit $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$\csc (θ) = - (\frac{5}{2 \sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}})$

Schritt 4.5

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.5.1

Mutltipliziere $\frac{5}{2 \sqrt{6}}$ mit $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$\csc (θ) = - \frac{5 \sqrt{6}}{2 \sqrt{6} \sqrt{6}}$

Schritt 4.5.2

Bewege $\sqrt{6}$ .

$\csc (θ) = - \frac{5 \sqrt{6}}{2 (\sqrt{6} \sqrt{6})}$

Schritt 4.5.3

Potenziere $\sqrt{6}$ mit $1$ .

$\csc (θ) = - \frac{5 \sqrt{6}}{2 (\sqrt{6} \sqrt{6})}$

Schritt 4.5.4

Potenziere $\sqrt{6}$ mit $1$ .

$\csc (θ) = - \frac{5 \sqrt{6}}{2 (\sqrt{6} \sqrt{6})}$

Schritt 4.5.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\csc (θ) = - \frac{5 \sqrt{6}}{2 {\sqrt{6}}^{1 + 1}}$

Schritt 4.5.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\csc (θ) = - \frac{5 \sqrt{6}}{2 {\sqrt{6}}^{2}}$

Schritt 4.5.7

Schreibe ${\sqrt{6}}^{2}$ als $6$ um.

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Schritt 4.5.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{6}$ als $6^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\csc (θ) = - \frac{5 \sqrt{6}}{2 {(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.5.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\csc (θ) = - \frac{5 \sqrt{6}}{2 \cdot 6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 4.5.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\csc (θ) = - \frac{5 \sqrt{6}}{2 \cdot 6^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.5.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.5.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\csc (θ) = - \frac{5 \sqrt{6}}{2 \cdot 6^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.5.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\csc (θ) = - \frac{5 \sqrt{6}}{2 \cdot 6}$

Schritt 4.5.7.5

Berechne den Exponenten.

$\csc (θ) = - \frac{5 \sqrt{6}}{2 \cdot 6}$

Schritt 4.6

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$\csc (θ) = - \frac{5 \sqrt{6}}{12}$

Schritt 5

Approximiere das Ergebnis.

$\csc (θ) = - \frac{5 \sqrt{6}}{12} \approx - 1.02062072$