Trigonometrie Beispiele

$\frac{\tan (t)}{\sec (t) - \cos (t)}$

Schritt 1

Schreibe $\tan (t)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{\frac{\sin (t)}{\cos (t)}}{\sec (t) - \cos (t)}$

Schritt 2

Schreibe $\sec (t)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{\frac{\sin (t)}{\cos (t)}}{\frac{1}{\cos (t)} - \cos (t)}$

Schritt 3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{\sin (t)}{\cos (t)} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\cos (t)} - \cos (t)}$

Schritt 4

Mutltipliziere $\frac{\sin (t)}{\cos (t)}$ mit $\frac{1}{\frac{1}{\cos (t)} - \cos (t)}$ .

$\frac{\sin (t)}{\cos (t) (\frac{1}{\cos (t)} - \cos (t))}$

Schritt 5

Separiere Brüche.

$\frac{1}{\frac{1}{\cos (t)} - \cos (t)} \cdot \frac{\sin (t)}{\cos (t)}$

Schritt 6

Wandle von $\frac{\sin (t)}{\cos (t)}$ nach $\tan (t)$ um.

$\frac{1}{\frac{1}{\cos (t)} - \cos (t)} \tan (t)$

Schritt 7

Wandle von $\frac{1}{\cos (t)}$ nach $\sec (t)$ um.

$\frac{1}{\sec (t) - \cos (t)} \tan (t)$

Schritt 8

Kombiniere $\frac{1}{\sec (t) - \cos (t)}$ und $\tan (t)$ .

$\frac{\tan (t)}{\sec (t) - \cos (t)}$

Schritt 9

Das ist die trigonometrische Form einer komplexen Zahl, wobei $| z |$ der Betrag und $θ$ der Winkel, der in der komplexen Ebene entsteht, ist.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Schritt 10

Der Betrag einer komplexen Zahl ist der Abstand vom Ursprung in der komplexen Zahlenebene.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , wobei $z = a + b i$

Schritt 11

Ersetze die tatsächlichen Werte von $a = \frac{\tan (t)}{\sec (t) - \cos (t)}$ und $b = 0$ .

$| z | = \sqrt{0^{2} + {(\frac{\tan (t)}{\sec (t) - \cos (t)})}^{2}}$

Schritt 12

Ermittle $| z |$ .

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Schritt 12.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$| z | = \sqrt{0 + {(\frac{\tan (t)}{\sec (t) - \cos (t)})}^{2}}$

Schritt 12.2

Schreibe $\tan (t)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$| z | = \sqrt{0 + {(\frac{\frac{\sin (t)}{\cos (t)}}{\sec (t) - \cos (t)})}^{2}}$

Schritt 12.3

Schreibe $\sec (t)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$| z | = \sqrt{0 + {(\frac{\frac{\sin (t)}{\cos (t)}}{\frac{1}{\cos (t)} - \cos (t)})}^{2}}$

Schritt 12.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$| z | = \sqrt{0 + {(\frac{\sin (t)}{\cos (t)} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\cos (t)} - \cos (t)})}^{2}}$

Schritt 12.5

Mutltipliziere $\frac{\sin (t)}{\cos (t)}$ mit $\frac{1}{\frac{1}{\cos (t)} - \cos (t)}$ .

$| z | = \sqrt{0 + {(\frac{\sin (t)}{\cos (t) (\frac{1}{\cos (t)} - \cos (t))})}^{2}}$

Schritt 12.6

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 12.6.1

Wende die Produktregel auf $\frac{\sin (t)}{\cos (t) (\frac{1}{\cos (t)} - \cos (t))}$ an.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{\sin^{2} (t)}{{(\cos (t) (\frac{1}{\cos (t)} - \cos (t)))}^{2}}}$

Schritt 12.6.2

Wende die Produktregel auf $\cos (t) (\frac{1}{\cos (t)} - \cos (t))$ an.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{\sin^{2} (t)}{\cos^{2} (t) {(\frac{1}{\cos (t)} - \cos (t))}^{2}}}$

Schritt 12.7

Addiere $0$ und $\frac{\sin^{2} (t)}{\cos^{2} (t) {(\frac{1}{\cos (t)} - \cos (t))}^{2}}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{\sin^{2} (t)}{\cos^{2} (t) {(\frac{1}{\cos (t)} - \cos (t))}^{2}}}$

Schritt 12.8

Schreibe $\cos^{2} (t) {(\frac{1}{\cos (t)} - \cos (t))}^{2}$ als ${(\cos (t) (\frac{1}{\cos (t)} - \cos (t)))}^{2}$ um.

$| z | = \sqrt{\frac{\sin^{2} (t)}{{(\cos (t) (\frac{1}{\cos (t)} - \cos (t)))}^{2}}}$

Schritt 12.9

Schreibe $\frac{\sin^{2} (t)}{{(\cos (t) (\frac{1}{\cos (t)} - \cos (t)))}^{2}}$ als ${(\frac{\sin (t)}{\cos (t) (\frac{1}{\cos (t)} - \cos (t))})}^{2}$ um.

$| z | = \sqrt{{(\frac{\sin (t)}{\cos (t) (\frac{1}{\cos (t)} - \cos (t))})}^{2}}$

Schritt 12.10

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$| z | = \frac{\sin (t)}{\cos (t) (\frac{1}{\cos (t)} - \cos (t))}$

Schritt 12.11

Separiere Brüche.

$| z | = \frac{1}{\frac{1}{\cos (t)} - \cos (t)} \cdot \frac{\sin (t)}{\cos (t)}$

Schritt 12.12

Wandle von $\frac{\sin (t)}{\cos (t)}$ nach $\tan (t)$ um.

$| z | = \frac{1}{\frac{1}{\cos (t)} - \cos (t)} \cdot \tan (t)$

Schritt 12.13

Wandle von $\frac{1}{\cos (t)}$ nach $\sec (t)$ um.

$| z | = \frac{1}{\sec (t) - \cos (t)} \cdot \tan (t)$

Schritt 12.14

Kombiniere $\frac{1}{\sec (t) - \cos (t)}$ und $\tan (t)$ .

$| z | = \frac{\tan (t)}{\sec (t) - \cos (t)}$

Schritt 13

Der Winkel des Punkts in der komplexen Zahlenebene ist der inverse Tangens des Imaginärteils geteilt durch den Realteil.

$θ = \arctan (\frac{0}{\frac{\tan (t)}{\sec (t) - \cos (t)}})$

Schritt 14

Substituiere die Werte von $θ = \arctan (\frac{0}{\frac{\tan (t)}{\sec (t) - \cos (t)}})$ und $| z | = \frac{\tan (t)}{\sec (t) - \cos (t)}$ .

$\frac{\tan (t)}{(\sec (t) - \cos (t)) (\cos (\arctan (\frac{0}{\frac{\tan (t)}{\sec (t) - \cos (t)}})) + i \sin (\arctan (\frac{0}{\frac{\tan (t)}{\sec (t) - \cos (t)}})))}$