Trigonometrie Beispiele

$(5 \frac{1}{2}, - 2 \sqrt{15})$

Schritt 1

Um den $\csc (θ)$ zwischen der x-Achse und der Geraden zwischen den Punkten $(0, 0)$ und $(5 \frac{1}{2}, - 2 \sqrt{15})$ zu ermitteln, zeichne das Dreieck zwischen den drei Punkten $(0, 0)$ , $(5 \frac{1}{2}, 0)$ und $(5 \frac{1}{2}, - 2 \sqrt{15})$ .

Gegenüberliegend : $- 2 \sqrt{15}$

Ankathete : $5 \frac{1}{2}$

Schritt 2

Berechne die Hypotenuse unter Anwendung des Satzes von Pythagoras $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

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Schritt 2.1

Wandle $5 \frac{1}{2}$ in einen unechten Bruch um.

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Schritt 2.1.1

Eine gemischter Zahl ist die Summe seines ganzzahligen und seines gebrochenen Teils.

$\sqrt{{(5 + \frac{1}{2})}^{2} + {(- 2 \sqrt{15})}^{2}}$

Schritt 2.1.2

Addiere $5$ und $\frac{1}{2}$ .

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Schritt 2.1.2.1

Um $5$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\sqrt{{(5 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2})}^{2} + {(- 2 \sqrt{15})}^{2}}$

Schritt 2.1.2.2

Kombiniere $5$ und $\frac{2}{2}$ .

$\sqrt{{(\frac{5 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2})}^{2} + {(- 2 \sqrt{15})}^{2}}$

Schritt 2.1.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{{(\frac{5 \cdot 2 + 1}{2})}^{2} + {(- 2 \sqrt{15})}^{2}}$

Schritt 2.1.2.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.2.4.1

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$\sqrt{{(\frac{10 + 1}{2})}^{2} + {(- 2 \sqrt{15})}^{2}}$

Schritt 2.1.2.4.2

Addiere $10$ und $1$ .

$\sqrt{{(\frac{11}{2})}^{2} + {(- 2 \sqrt{15})}^{2}}$

Schritt 2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.1

Wende die Produktregel auf $\frac{11}{2}$ an.

$\sqrt{\frac{11^{2}}{2^{2}} + {(- 2 \sqrt{15})}^{2}}$

Schritt 2.2.2

Potenziere $11$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{121}{2^{2}} + {(- 2 \sqrt{15})}^{2}}$

Schritt 2.2.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{121}{4} + {(- 2 \sqrt{15})}^{2}}$

Schritt 2.2.4

Wende die Produktregel auf $- 2 \sqrt{15}$ an.

$\sqrt{\frac{121}{4} + {(- 2)}^{2} {\sqrt{15}}^{2}}$

Schritt 2.2.5

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{121}{4} + 4 {\sqrt{15}}^{2}}$

Schritt 2.3

Schreibe ${\sqrt{15}}^{2}$ als $15$ um.

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Schritt 2.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{15}$ als $15^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sqrt{\frac{121}{4} + 4 {(15^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{121}{4} + 4 \cdot 15^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 2.3.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sqrt{\frac{121}{4} + 4 \cdot 15^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 2.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{\frac{121}{4} + 4 \cdot 15^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 2.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{\frac{121}{4} + 4 \cdot 15^{1}}$

Schritt 2.3.5

Berechne den Exponenten.

$\sqrt{\frac{121}{4} + 4 \cdot 15}$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $4$ mit $15$ .

$\sqrt{\frac{121}{4} + 60}$

Schritt 2.5

Um $60$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{121}{4} + 60 \cdot \frac{4}{4}}$

Schritt 2.6

Kombiniere $60$ und $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{121}{4} + \frac{60 \cdot 4}{4}}$

Schritt 2.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{121 + 60 \cdot 4}{4}}$

Schritt 2.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.8.1

Mutltipliziere $60$ mit $4$ .

$\sqrt{\frac{121 + 240}{4}}$

Schritt 2.8.2

Addiere $121$ und $240$ .

$\sqrt{\frac{361}{4}}$

Schritt 2.9

Schreibe $\sqrt{\frac{361}{4}}$ als $\frac{\sqrt{361}}{\sqrt{4}}$ um.

$\frac{\sqrt{361}}{\sqrt{4}}$

Schritt 2.10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.10.1

Schreibe $361$ als $19^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{19^{2}}}{\sqrt{4}}$

Schritt 2.10.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{19}{\sqrt{4}}$

Schritt 2.11

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.11.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{19}{\sqrt{2^{2}}}$

Schritt 2.11.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{19}{2}$

Schritt 3

Aus $\csc (θ) = \frac{Hypotenuse}{Gegenüberliegend}$ folgt $\csc (θ) = \frac{\frac{19}{2}}{- 2 \sqrt{15}}$ .

$\frac{\frac{19}{2}}{- 2 \sqrt{15}}$

Schritt 4

Vereinfache $\csc (θ)$ .

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Schritt 4.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\csc (θ) = \frac{19}{2} \cdot \frac{1}{- 2 \sqrt{15}}$

Schritt 4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\csc (θ) = \frac{19}{2} \cdot (- \frac{1}{2 \sqrt{15}})$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $\frac{1}{2 \sqrt{15}}$ mit $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$ .

$\csc (θ) = \frac{19}{2} \cdot (- (\frac{1}{2 \sqrt{15}} \cdot \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}))$

Schritt 4.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2 \sqrt{15}}$ mit $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$ .

$\csc (θ) = \frac{19}{2} \cdot (- \frac{\sqrt{15}}{2 \sqrt{15} \sqrt{15}})$

Schritt 4.4.2

Bewege $\sqrt{15}$ .

$\csc (θ) = \frac{19}{2} \cdot (- \frac{\sqrt{15}}{2 (\sqrt{15} \sqrt{15})})$

Schritt 4.4.3

Potenziere $\sqrt{15}$ mit $1$ .

$\csc (θ) = \frac{19}{2} \cdot (- \frac{\sqrt{15}}{2 (\sqrt{15} \sqrt{15})})$

Schritt 4.4.4

Potenziere $\sqrt{15}$ mit $1$ .

$\csc (θ) = \frac{19}{2} \cdot (- \frac{\sqrt{15}}{2 (\sqrt{15} \sqrt{15})})$

Schritt 4.4.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\csc (θ) = \frac{19}{2} \cdot (- \frac{\sqrt{15}}{2 {\sqrt{15}}^{1 + 1}})$

Schritt 4.4.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\csc (θ) = \frac{19}{2} \cdot (- \frac{\sqrt{15}}{2 {\sqrt{15}}^{2}})$

Schritt 4.4.7

Schreibe ${\sqrt{15}}^{2}$ als $15$ um.

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Schritt 4.4.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{15}$ als $15^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\csc (θ) = \frac{19}{2} \cdot (- \frac{\sqrt{15}}{2 {(15^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Schritt 4.4.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\csc (θ) = \frac{19}{2} \cdot (- \frac{\sqrt{15}}{2 \cdot 15^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Schritt 4.4.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\csc (θ) = \frac{19}{2} \cdot (- \frac{\sqrt{15}}{2 \cdot 15^{\frac{2}{2}}})$

Schritt 4.4.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.4.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\csc (θ) = \frac{19}{2} \cdot (- \frac{\sqrt{15}}{2 \cdot 15^{\frac{2}{2}}})$

Schritt 4.4.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\csc (θ) = \frac{19}{2} \cdot (- \frac{\sqrt{15}}{2 \cdot 15})$

Schritt 4.4.7.5

Berechne den Exponenten.

$\csc (θ) = \frac{19}{2} \cdot (- \frac{\sqrt{15}}{2 \cdot 15})$

Schritt 4.5

Mutltipliziere $2$ mit $15$ .

$\csc (θ) = \frac{19}{2} \cdot (- \frac{\sqrt{15}}{30})$

Schritt 4.6

Multipliziere $\frac{19}{2} (- \frac{\sqrt{15}}{30})$ .

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Schritt 4.6.1

Mutltipliziere $\frac{19}{2}$ mit $\frac{\sqrt{15}}{30}$ .

$\csc (θ) = - \frac{19 \sqrt{15}}{2 \cdot 30}$

Schritt 4.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $30$ .

$\csc (θ) = - \frac{19 \sqrt{15}}{60}$

Schritt 5

Approximiere das Ergebnis.

$\csc (θ) = - \frac{19 \sqrt{15}}{60} \approx - 1.22644472$