Trigonometrie Beispiele

$\sin^{4} (x) - \cos^{4} (x)$

Schritt 1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1

Schreibe $\sin^{4} (x)$ als ${(\sin^{2} (x))}^{2}$ um.

${(\sin^{2} (x))}^{2} - \cos^{4} (x)$

Schritt 1.2

Schreibe $\cos^{4} (x)$ als ${(\cos^{2} (x))}^{2}$ um.

${(\sin^{2} (x))}^{2} - {(\cos^{2} (x))}^{2}$

Schritt 2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = \sin^{2} (x)$ und $b = \cos^{2} (x)$ .

$(\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)) (\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x))$

Schritt 3

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$1 (\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x))$

Schritt 4

Mutltipliziere $\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)$ mit $1$ .

$\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)$

Schritt 5

Das ist die trigonometrische Form einer komplexen Zahl, wobei $| z |$ der Betrag und $θ$ der Winkel, der in der komplexen Ebene entsteht, ist.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Schritt 6

Der Betrag einer komplexen Zahl ist der Abstand vom Ursprung in der komplexen Zahlenebene.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , wobei $z = a + b i$

Schritt 7

Ersetze die tatsächlichen Werte von $a = \sin^{2} (x)$ und $b = - 1 \cos^{2} (x)$ .

$| z | = \sqrt{{(- 1 \cos^{2} (x))}^{2} + {(\sin^{2} (x))}^{2}}$

Schritt 8

Ermittle $| z |$ .

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Schritt 8.1

Schreibe $- 1 \cos^{2} (x)$ als $- \cos^{2} (x)$ um.

$| z | = \sqrt{{(- \cos^{2} (x))}^{2} + {(\sin^{2} (x))}^{2}}$

Schritt 8.2

Wende die Produktregel auf $- \cos^{2} (x)$ an.

$| z | = \sqrt{{(- 1)}^{2} {(\cos^{2} (x))}^{2} + {(\sin^{2} (x))}^{2}}$

Schritt 8.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$| z | = \sqrt{1 {(\cos^{2} (x))}^{2} + {(\sin^{2} (x))}^{2}}$

Schritt 8.4

Mutltipliziere ${(\cos^{2} (x))}^{2}$ mit $1$ .

$| z | = \sqrt{{(\cos^{2} (x))}^{2} + {(\sin^{2} (x))}^{2}}$

Schritt 8.5

Multipliziere die Exponenten in ${(\cos^{2} (x))}^{2}$ .

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Schritt 8.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{{\cos (x)}^{2 \cdot 2} + {(\sin^{2} (x))}^{2}}$

Schritt 8.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$| z | = \sqrt{\cos^{4} (x) + {(\sin^{2} (x))}^{2}}$

Schritt 8.6

Multipliziere die Exponenten in ${(\sin^{2} (x))}^{2}$ .

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Schritt 8.6.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{\cos^{4} (x) + {\sin (x)}^{2 \cdot 2}}$

Schritt 8.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$| z | = \sqrt{\cos^{4} (x) + \sin^{4} (x)}$

Schritt 9

Der Winkel des Punkts in der komplexen Zahlenebene ist der inverse Tangens des Imaginärteils geteilt durch den Realteil.

$θ = \arctan (\frac{- 1 \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)})$

Schritt 10

Substituiere die Werte von $θ = \arctan (\frac{- 1 \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)})$ und $| z | = \sqrt{\cos^{4} (x) + \sin^{4} (x)}$ .

$\sqrt{\cos^{4} (x) + \sin^{4} (x)} (\cos (\arctan (\frac{- 1 \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)})) + i \sin (\arctan (\frac{- 1 \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)})))$